1. Dana jest funkcja \(y= \frac{2x}{x^2 +1}\). Mam wyznaczyć przedziały wklęsłości, wypukłości i pkt przegięcia. Proszę o sprawdzenie:
\(y'= \frac{-2x^2 +2}{(x^2 +1)^2}\)
\(y''= \frac{-4x(x^2 +1)^2 -(4x^3 +4x)(-2x^2 +2)}{(x^2 +1)^4}\)
\((x^2 +1)^2= (2x^2 +2)2x= 4x^3 +4x\)
\(y''<0\) --> funkcja jest wklęsła
2. Dana jest funkcja \(y= \frac{3x- 3}{2x +2}\). Muszę znaleźć największa i największą wartośc funkcji w przedziale\(<1,10>\)
Proszę o wskazówki. Obliczyłam \(y'= \frac{12}{4x^2 +8x +4}\), \(y''= \frac{8(x+1)}{(2x +2)^4}\)
\(f(1)=0; f(10)=1,28\) Jakieś wskazówki?
Wypukłośc, wklęsłośc, pkt przegięcia
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
ewelawwy
- Fachowiec
- Posty: 2057
- Rejestracja: 16 kwie 2010, 15:32
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 910 razy
- Płeć:
Re: Wypukłośc, wklęsłośc, pkt przegięcia
1.
y' i y'' sa dobrze policzone
bo przecież nie dla każdego x
najpierw przyrównaj to do zera i znajdź punkty przegięcia...
a następnie sprawdź dla jakiech x'ów: y''>0 i y''<0
w ten sposób wyznaczysz przedziały wklęsłości i wypukłości
\(\frac{-4x(x^2 +1)^2 -(4x^3 +4x)(-2x^2 +2)}{(x^2 +1)^4}=0 \ \Leftrightarrow \ -4x(x^2 +1)^2 -(4x^3 +4x)(-2x^2 +2)=0 \ \wedge \ (x^2 +1)^4\neq 0\)
\(-4x(x^2 +1)^2 -(4x^3 +4x)(-2x^2 +2)=0 \ \wedge \ x\in\{-\sqrt 3, 0, \sqrt 3\}\)
powyższe iksy to punkty przegięcia
\(y''\ge 0\ \Leftrightarrow \ -4x(x^2 +1)^2 -(4x^3 +4x)(-2x^2 +2)\ge 0 \ \Leftrightarrow \ x\in <-\sqrt 3,0>\cup <\sqrt 3,\infty)\) - f. wypukła
\(y''\le 0\) w p.p.
y' i y'' sa dobrze policzone
tu oczywiście jest zły zapis... brakuje znaku pochodnej, bo to nie jest równość...maja001 pisze:\((x^2 +1)^2= (2x^2 +2)2x= 4x^3 +4x\)
ale gdzie druga pochodna jest mniejsza od zera? i gdzie funkcja jest wklęsła?maja001 pisze:\(y''<0\) --> funkcja jest wklęsła
bo przecież nie dla każdego x
najpierw przyrównaj to do zera i znajdź punkty przegięcia...
a następnie sprawdź dla jakiech x'ów: y''>0 i y''<0
w ten sposób wyznaczysz przedziały wklęsłości i wypukłości
\(\frac{-4x(x^2 +1)^2 -(4x^3 +4x)(-2x^2 +2)}{(x^2 +1)^4}=0 \ \Leftrightarrow \ -4x(x^2 +1)^2 -(4x^3 +4x)(-2x^2 +2)=0 \ \wedge \ (x^2 +1)^4\neq 0\)
\(-4x(x^2 +1)^2 -(4x^3 +4x)(-2x^2 +2)=0 \ \wedge \ x\in\{-\sqrt 3, 0, \sqrt 3\}\)
powyższe iksy to punkty przegięcia
\(y''\ge 0\ \Leftrightarrow \ -4x(x^2 +1)^2 -(4x^3 +4x)(-2x^2 +2)\ge 0 \ \Leftrightarrow \ x\in <-\sqrt 3,0>\cup <\sqrt 3,\infty)\) - f. wypukła
\(y''\le 0\) w p.p.
-
ewelawwy
- Fachowiec
- Posty: 2057
- Rejestracja: 16 kwie 2010, 15:32
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 910 razy
- Płeć:
Re: Wypukłośc, wklęsłośc, pkt przegięcia
2.
może napierw się czepię:
ciekawe zaokrąglenie
przyrównujesz pierwsza pochodną do zera i masz punkty podejrzane o ekstrema (tu takich nie ma), a później ekstrema (jak są ) porównujesz z końcami przedziału
ta pochodna nigdy nie jest równa zero, stąd najmniejszą i największą wartością w tym przedziale są końce przedziału
może napierw się czepię:
\(1,227(27) \ \approx 1,28\) ??maja001 pisze:\(f(10)=1,28\)
ciekawe zaokrąglenie
tu nie jest potrzebna druga pochodnamaja001 pisze:\(y= \frac{3x- 3}{2x +2}\)
\(y'= \frac{12}{4x^2 +8x +4}\), \(y''= \frac{8(x+1)}{(2x +2)^4}\)
przyrównujesz pierwsza pochodną do zera i masz punkty podejrzane o ekstrema (tu takich nie ma), a później ekstrema (jak są ) porównujesz z końcami przedziału
ta pochodna nigdy nie jest równa zero, stąd najmniejszą i największą wartością w tym przedziale są końce przedziału