Granica z pierwiastkiem 2

[patrycjaa_93]

Oblicz granicę
\(\lim_{n\to\infty} \ \sqrt{2} \sqrt[4]{2}... \cdot \sqrt[2n]{2}\) Proszę o pomoc

[patrycjaa_93]

ale ciąg \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4}+ \frac{1}{6}...\) nie jest geometryczny

[Galen]

Czyli trzeba policzyć granicę sumy
\(\frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{6}+ \frac{1}{8}+ \frac{1}{10}+ \frac{1}{12}+ \frac{1}{14}+...+ \frac{1}{2n}\)

Ale jak?
Może wyłączyć połówkę...
\(\frac{1}{2}(1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{5}+...+ \frac{1}{n})\)
W nawiasie jest ciąg harmoniczny,a jest on rozbieżny,to i jego połowa też będzie rozbieżna.
Stąd mam
\(\lim_{n\to \infty }a_n=2^{+ \infty }=+ \infty\)

Poprawcie mnie ,jeśli się mylę.

[patrycjaa_93]

w odpowidziach jest że granica wynosi 2

[Galen]

http://pl.wikipedia.org/wiki/Szereg_harmoniczny

[radagast]

podejrzewam że miało być \(2^n\), a nie \(2n\)

[radagast]

I wtedy \(\lim_{n\to\infty} \ \sqrt{2} \sqrt[4]{2}... \cdot \sqrt[2^n]{2}= \lim_{n\to\infty} 2^{ \frac{1}{2} } \cdot 2^{ \frac{1}{4} } \cdot 2^{ \frac{1}{8} } \cdot ... \cdot 2^{ \frac{1}{2^n} } = \lim_{n\to\infty} 2^{ \frac{1}{2}+ \frac{1}{4} + \frac{1}{8}+...+ \frac{1}{2^n} } =2^{1}= 2\)

[patryk00714]

\(\lim_{n \to \infty }\sqrt{2}\sqrt[4]{2}...\sqrt[2n]{2}=\lim_{n \to \infty }2^{\frac{1}{2}}2^{\frac{1}{4}}...2^{\frac{1}{2^n}}=\lim_{n \to \infty }2^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^n}}=\lim_{n \to \infty }2^{\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}}=2\)

[patryk00714]

brr, znowu byłem wolniejszy

[radagast]

tygodnie praktyki