Asymptoty funkcji

[sandra-91]

Wyznaczyć asymptoty funkcji \(y= x-2arctg x\)

Umiem dobrze wyznaczać asymptoty, jeśli jest da się wyznaczyć dziedzinę. A tu tutaj nie ma, jak. Właśnie zastanawiam się, jak można inaczej? Jak to wyznaczyć?

[Galen]

Pionowych nie ma,bo D=R.
Trzeba szukać ukośnych.

[sandra-91]

Rozumiem, czyli dziedzina to \(R\). A mógłbyś pokazać, jak szukać ukośnych?

[jola]

\(x\ \to \ + \infty \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ arctg x\ \to \ \frac{ \pi }{2} \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \frac{arctg x\ }{x} \ \ \to \ 0\\ x\ \to \ - \infty \ \ \ \Rightarrow \ \ \ arctg x\ \to \ - \frac{ \pi }{2}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \frac{arctg x}{x} \ \ \ \to \ \ 0\)

\(\lim_{x\to \pm \infty }\ \frac{f(x)}{x}\ =\ \lim_{x\to \pm \infty }\ \frac{x-2arctg x}{x} \ =\ \lim_{x\to \pm \infty }(1- \frac{2arctg x}{x} )=1=a\\ \lim_{x\to + \infty } [f(x)-ax]\ = \ \lim_{x\to + \infty }\ [ x-2arctg x-x]= \lim_{x\to + \infty }(-2arctg x)=- \pi =b\\ \lim_{x\to - \infty }[f(x)-ax]\ =\ \lim_{x\to - \infty } [x-2arctg x-x]\ =\ \lim_{x\to - \infty } [-2arctg x]= \pi =b\)

z powyższego wynika, że prosta o równaniu \(\ y=x- \pi \\)jest prawostronną asymptotą ukośną,
natomiast prosta o rownaniu\(\ y=x+ \pi \\) jest lewostronną asymptotą ukośną