szereg liebnitza

[suspicious20]

\(\sum_{n =1}^{ \infty } (-1)^n \frac{1}{ \sqrt{n+1} }\)

zbieżny warunkowo.
nie wiem jak zacząć ? nie rozumiem czemu on jest malejący i nie wiem jak pokazać ze jest zbieżny do zera lub nie ejst zbieżny do zera...

[radagast]

On jest zbieżny , właśnie z kryterium Leibniza.
I oczywiście warunkowo, bo bezwzględnie nie ( z kryterium porównawczego).

[alexx17]

Aby wykazać, że jest malejący porównaj kolejne wyrazy jak ja to zrobiłem tu: http://forum.zadania.info/viewtopic.php?f=37&t=30585. Zbieżność wyrazu ogólnego no to w zasadzie rzecz oczywista.

[Pol]

żeby zbadać monotoniczność ciągu: \(\ \ a_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)

musimy zbadać znak różnicy: \(\ \ a_{n+1}-a_n = \frac{1}{\sqrt{n+2}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}}\)

\(\( \sqrt{n+2} \ > \ \sqrt{n+1}\) \ \Rightarrow \ \(\frac{1}{\sqrt{n+2}} \ < \ \frac{1}{\sqrt{n+1}}\) \Rightarrow \ \(\frac{1}{\sqrt{n+2}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}} \ < \ 0 \)\)

stąd mamy że badany ciąg jest malejący

[alexx17]

Twoje brzydko wygląda

[radagast]

Można to oczywiście komplikować ale czy nie jest oczywiste, ze jak każdy następny wyraz ma większy mianownik to jest mniejszy ?

[alexx17]

Mnie nauczono, że wszystko co jest oczywiste a nie podane jako lemat trzeba dowodzić. Tym bardziej, że kolega ma niedługo egzamin.. W sumie ja też.

[radagast]

No to może prościej tak jak ja podałam ?

[alexx17]

Nie wiem jak to u mnie interpretują. Zobaczę jutro jak dostanę kolosa poprzedniego i wtedy napiszę. Bo zrobiłem właśnie tak jak radzisz. Ale wydaje mi się, że skoro jakiś dziadzio naukowiec tak każe, to chyba tak trzeba, a przynajmniej byłoby to nienaganne rozwiązanie.

Edit. Jednak trzeba udowadniać. Samo rozpisanie na wyrazy nic nie daje