szereg zbieżność - różnica sześcianów ? czy d'alemberta?

[suspicious20]

określić zbieżność szeregu:
\(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{ \sqrt[3]{n^2 + n} - \sqrt[3]{n^2} }{n}\)
zastanawiam się czy moge skorzystać z wzoru na róznicę sześcianów ? czy to w ogole mialoby jakiś sens ?
czy po prostu spoóbować liuczyc to z d'alemberta ?

[escher]

Z D'Alemberta wyjść nie powinno (granica równa 1)

Oczywiście wzór na różnicę sześcianów i widać, że wyraz szeregu jest "podobny" do \(\frac{1}{n^{\frac{2}{3}}}\), a więc rozbieżny z kryterium porównawczego - ma wyrazy większe od \(\frac{1}{n}\) przynajmniej od pewnego miejsca.
escher

[suspicious20]

w odpowiedzi mam ze jest zbieżny

[radagast]

\(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{ \sqrt[3]{n^2 + n} - \sqrt[3]{n^2} }{n}=\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{ \left( \sqrt[3]{n^2 + n} - \sqrt[3]{n^2}\right) \left(\sqrt[3]{ \left(n^2 + n \right)^2}+\sqrt[3]{n^2 + n } \sqrt[3]{n^2} + \sqrt[3]{n^4} \right) }{n \left( \sqrt[3]{ \left(n^2 + n \right)^2}+\sqrt[3]{n^2 + n } \sqrt[3]{n^2} + \sqrt[3]{n^4}\right) } =
\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{ n }{n \left( \sqrt[3]{ \left(n^2 + n \right)^2}+\sqrt[3]{n^2 + n } \sqrt[3]{n^2} + \sqrt[3]{n^4}\right) } =\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{ 1 }{ \sqrt[3]{ \left(n^2 + n \right)^2}+\sqrt[3]{n^2 + n } \sqrt[3]{n^2} + \sqrt[3]{n^4} }\)

zbieżny , bo

\(\frac{ 1 }{ \sqrt[3]{ \left(n^2 + n \right)^2}+\sqrt[3]{n^2 + n } \sqrt[3]{n^2} + \sqrt[3]{n^4} } \le \frac{1}{\sqrt[3]{n^4}}\) i \(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{1}{\sqrt[3]{n^4}}\) -zbieżny