6. Wyznacz przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji:
a)\(f(x)=-2x^3+5\)
b)\(f(x)=x^3+2x^2\)
c)\(f(x)=ln(1-x^2)\)
7.Wyznacz przedziały wklęsłości i wypukłości oraz punkty przegięcia:
a)\(f(x)=x^3-3x^2+8\)
b)\(f(x)=x- \frac{1}{x}\)
c)\(f(x)=-x^4+6x^2+x\)
Przedziały wklęsłości wypukłości i monotoniczności funkcji
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
justyska05
- Rozkręcam się
- Posty: 56
- Rejestracja: 30 lis 2009, 19:05
- Podziękowania: 23 razy
-
jola
- Expert
- Posty: 5246
- Rejestracja: 16 lut 2009, 23:02
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 1968 razy
- Płeć:
zad 1a
\(f(x)=-2x^3+5\ \ \ \Rightarrow \ \ \ D_f=R\)
\(f'(x)=-6x^2\ \ \ \wedge \ \ \ D_{f'}=R\)
\(f'(x)=0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x=0\)
\(\bigwedge_{x\in R- \left\{\ 0\ \right\}}\ f'(x)<0\)
z powyższego wynika, że \(\ dla\ x \in (- \infty ;0)\ oraz\ dla\ x \in (0;+ \infty )\\)funkcja jest malejąca
i brak ekstremum lokalnego
\(f(x)=-2x^3+5\ \ \ \Rightarrow \ \ \ D_f=R\)
\(f'(x)=-6x^2\ \ \ \wedge \ \ \ D_{f'}=R\)
\(f'(x)=0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x=0\)
\(\bigwedge_{x\in R- \left\{\ 0\ \right\}}\ f'(x)<0\)
z powyższego wynika, że \(\ dla\ x \in (- \infty ;0)\ oraz\ dla\ x \in (0;+ \infty )\\)funkcja jest malejąca
i brak ekstremum lokalnego
-
jola
- Expert
- Posty: 5246
- Rejestracja: 16 lut 2009, 23:02
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 1968 razy
- Płeć:
zad 1b
\(f(x)=x^3+2x^2\ \ \ \ \wedge \ \ \ D_f=R\)
\(f'(x)=3x^2+4x=3x(x+ \frac{4}{3})\ \ \ \wedge \ \ \ D_{f'}=R\)
\(f'(x)=0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x=0\ \ \ \vee \ \ x=- \frac{4}{3}\)
\(f'(x)>0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x \in (- \infty ;- \frac{4}{3} ) \cup (0;+ \infty )\)
\(f'(x)<0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x \in (- \frac{4}{3};0)\)
z powyższego wynika, że \(\ dla\ x \in (- \infty ;- \frac{4}{3})\ oraz\ dla \ x \in )0;+ \infty )\\)funkcja jest rosnąca
\(dla\ x \in (- \frac{4}{3} ;0)\\)funkcja jest malejąca
\(dla x=- \frac{4}{3} \\)funkcja osiąga maksimum lokalne
\(dla\ x=0\\)funkcja osiąga minimum lokalne
\(f(x)=x^3+2x^2\ \ \ \ \wedge \ \ \ D_f=R\)
\(f'(x)=3x^2+4x=3x(x+ \frac{4}{3})\ \ \ \wedge \ \ \ D_{f'}=R\)
\(f'(x)=0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x=0\ \ \ \vee \ \ x=- \frac{4}{3}\)
\(f'(x)>0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x \in (- \infty ;- \frac{4}{3} ) \cup (0;+ \infty )\)
\(f'(x)<0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x \in (- \frac{4}{3};0)\)
z powyższego wynika, że \(\ dla\ x \in (- \infty ;- \frac{4}{3})\ oraz\ dla \ x \in )0;+ \infty )\\)funkcja jest rosnąca
\(dla\ x \in (- \frac{4}{3} ;0)\\)funkcja jest malejąca
\(dla x=- \frac{4}{3} \\)funkcja osiąga maksimum lokalne
\(dla\ x=0\\)funkcja osiąga minimum lokalne
-
jola
- Expert
- Posty: 5246
- Rejestracja: 16 lut 2009, 23:02
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 1968 razy
- Płeć:
zad 1c
\(f(x)=ln(1-x^2)\ \ \ \wedge \ \ \ D_f=(-1;1)\)
\(f'(x)= \frac{-2x}{1-x^2} = \frac{2x}{x^2-1}\ \ \ \wedge \ \ \ D_{f'}=(-1;1)\)
\(\begin{cases} f'(x)=0\\ x \in (-1;1) \end{cases} \ \ \Rightarrow \ \ \ x=0\)
\(\begin{cases}f'(x)>0\\ x \in (-1;1) \end{cases}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x \in (-1;0)\)
\(\begin{cases}f'(x)<0\\ x \in (-1;1) \end{cases}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x \in (0;1)\)
z powyższego wynika, że: \(\ dla\ x \in (-1;0)\\)funkcja jest rosnaca,
\(\ dla\ x \in (0;1)\\)funkcja jest malejąca
i dla x=0 funkcja osiąga maksimum lokalne
\(f(x)=ln(1-x^2)\ \ \ \wedge \ \ \ D_f=(-1;1)\)
\(f'(x)= \frac{-2x}{1-x^2} = \frac{2x}{x^2-1}\ \ \ \wedge \ \ \ D_{f'}=(-1;1)\)
\(\begin{cases} f'(x)=0\\ x \in (-1;1) \end{cases} \ \ \Rightarrow \ \ \ x=0\)
\(\begin{cases}f'(x)>0\\ x \in (-1;1) \end{cases}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x \in (-1;0)\)
\(\begin{cases}f'(x)<0\\ x \in (-1;1) \end{cases}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x \in (0;1)\)
z powyższego wynika, że: \(\ dla\ x \in (-1;0)\\)funkcja jest rosnaca,
\(\ dla\ x \in (0;1)\\)funkcja jest malejąca
i dla x=0 funkcja osiąga maksimum lokalne
-
jola
- Expert
- Posty: 5246
- Rejestracja: 16 lut 2009, 23:02
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 1968 razy
- Płeć:
zad 2a
\(f(x)=x^3-3x^2+8\ \ \ \wedge \ \ \ D_f=R\\ f'(x)=3x^2-6x\ \ \ \wedge \ \ \ D_{f'}=R\\ f''(x)=6x-6=6(x-1)\ \ \ \wedge \ \ D_{f''}=R\)
\(f''(x)=0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x=1\\ f''(x)>0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x \in (1;+ \infty )\\ f''(x)<0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x \in (- \infty ;1)\)
z powyższego wynika, że: \(\ dla\ x \in (1;+ \infty )\\) wykres funkcji jest wypukły
\(dla\ x \in (- \infty ;1)\\)wykres funkcji jest wkląsły,
dla x=1 wykres funkcji ma punkt przegiecia
\(f(x)=x^3-3x^2+8\ \ \ \wedge \ \ \ D_f=R\\ f'(x)=3x^2-6x\ \ \ \wedge \ \ \ D_{f'}=R\\ f''(x)=6x-6=6(x-1)\ \ \ \wedge \ \ D_{f''}=R\)
\(f''(x)=0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x=1\\ f''(x)>0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x \in (1;+ \infty )\\ f''(x)<0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x \in (- \infty ;1)\)
z powyższego wynika, że: \(\ dla\ x \in (1;+ \infty )\\) wykres funkcji jest wypukły
\(dla\ x \in (- \infty ;1)\\)wykres funkcji jest wkląsły,
dla x=1 wykres funkcji ma punkt przegiecia