Obliczyc całki

[alicja403]

Obliczyc całki niewłaściwe, sprawdzic dziedzinę funkcji podcałkowej:
a)\(\int_{0}^{1} \frac{x}{1-x} dx\)
b)\(\int_{3}^{4} \frac{dx}{ \sqrt{x^2-9} }\)
c)\(\int_{0}^{4} \frac{dx}{(4-x)^{ \frac{2}{3} }}\)

[radagast]

a)
\(\int_{0}^{1} \frac{x}{1-x} dx=-\int_{0}^{1} \frac{-x}{1-x} dx=-\int_{0}^{1} \frac{1-x-1}{1-x} dx=-\int_{0}^{1}1- \frac{1}{1-x} dx=
-\int_{0}^{1}1+ \frac{1}{x-1} dx= -\left[x+ln|x-1| \right]_0^1= -1+\infty+0+0= +\infty\)

[radagast]

b)
\(\int_{3}^{4} \frac{dx}{ \sqrt{x^2-9} }= \left[ln|x+ \sqrt{x^2-9}| \right]_3^4= ln(4+ \sqrt{7})-ln3= ln \frac{4+ \sqrt{7}}{3}\)

[radagast]

c)
\(\int_{0}^{4} \frac{dx}{(4-x)^{ \frac{2}{3} }}=\int_{0}^{4} (4-x)^{ -\frac{2}{3} }dx= \left[-3(4-x)^{ \frac{1}{3}} \right]_0^4 =\left[3(4-x)^{ \frac{1}{3}} \right]_4^0=\left[3 \sqrt[3]{4-x} \right]_4^0=3 \sqrt[3]{4}\)