ZADANIE 1
Przecinając prostokątny arkusz papieru, otrzymano kwadrat oraz mniejszy prostokąt. Z tego prostokąta również odcięto kwadrat i znów otrzymano mniejszy prostokąt. Sytuacja powtórzyła się jeszcze kilkakrotnie, aż do momentu otrzymania dziewięciu różnych kwadratów i jednego prostokąta o wymiarach Icm x 2cm. Jakie pole miał arkusz papieru?
Zadanie 2
Ania napisała trzy liczby pięciocyfrowe używajac do zapisu kazdej z tych liczb wszystkich cyfr spośród 1, 2, 3, 4, 5. Czy suma tych liczb jest podzielna przez 3? Czy liczba podzielna jest prze 9 ?
Zadanie 3
Dany jet kwadrat o boku długosci a. Na jego bokach, na zewnatrz, zbudowano trójkąty równoboczne. Wierzchołki kolejnych trójkątów, nie będąc wierzchołkami kolejnych trójkatów, nie będące wierzchołkami danego kwadratu, połączono odcinkami. Oblicz pole otrzymanego czworokąta.
3 zadania liga matematyczna
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Rozkręcam się
- Posty: 43
- Rejestracja: 24 lis 2011, 12:58
- Podziękowania: 21 razy
- Płeć:
-
- Rozkręcam się
- Posty: 64
- Rejestracja: 04 kwie 2011, 18:07
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 20 razy
- Płeć:
Re: 3 zadania liga matematyczna
3.
Najpierw trzeba wykazać, że otrzymany czworokąt jest kwadratem.
Bok tego kwadratu ma długość:
a+2h
gdzie "h" to jest wysokość trójkąta równobocznego
Najpierw trzeba wykazać, że otrzymany czworokąt jest kwadratem.
Bok tego kwadratu ma długość:
a+2h
gdzie "h" to jest wysokość trójkąta równobocznego
-
- Guru
- Posty: 22300
- Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
- Otrzymane podziękowania: 9862 razy
- Płeć:
1.
Jeśli na końcu otrzymano prostokąt o bokach 2cm i 1cm, to ostatnio otrzymany kwadrat (siódmy) mógł mieć bok 1cm lub 2cm.
I:
- siódmy kwadrat ma bok 1cm, czyli szósty prostokąt miał wymiary 3cm i 1cm
- szósty kwadrat ma bok 3cm, czyli piąty prostokąt miał wymiary 3cm i 4cm
- piąty kwadrat ma bok 4cm, czyli czwarty prostokąt miał wymiary 4cm i 7cm
- czwarty kwadrat ma bok 7cm, czyli trzeci prostokąt miał wymiary 7cm i 11cm
- trzeci kwadrat ma bok 11cm, więc drugi prostokąt miał wymiary 11cm i 18cm
- drugi kwadrat ma bok 18cm, więc pierwszy prostokąt miał wymiary 18cm i 29cm
- pierwszy kwadrat ma bok 29cm, więc wyjściowy prostokąt miał wymiary 29cm i 47cm
II:
- siódmy kwadrat ma bok 2cm, więc szósty prostokąt miał wymiary 2cm i 3cm
- szósty kwadrat ma bok 3cm, więc piąty prostokąt miał wymiary 3cm i 5cm
- piąty kwadrat ma bok 5cm, więc czwarty prostokąt miał wymiary 5cm i 8cm
.
.
.
- pierwszy kwadrat ma bok 44cm, więc wyjściowy prostokąt miał wymiary 44cm i 65cm
Zauważ, że boki kwadratów tworzą ciąg:
1, 3, 4, 7, 11, 18, 29
lub
2, 3, 5, 8, 13, 21, 44
taki, że od trzeciego wyrazu każdy jest sumą dwóch poprzednich
Jeśli na końcu otrzymano prostokąt o bokach 2cm i 1cm, to ostatnio otrzymany kwadrat (siódmy) mógł mieć bok 1cm lub 2cm.
I:
- siódmy kwadrat ma bok 1cm, czyli szósty prostokąt miał wymiary 3cm i 1cm
- szósty kwadrat ma bok 3cm, czyli piąty prostokąt miał wymiary 3cm i 4cm
- piąty kwadrat ma bok 4cm, czyli czwarty prostokąt miał wymiary 4cm i 7cm
- czwarty kwadrat ma bok 7cm, czyli trzeci prostokąt miał wymiary 7cm i 11cm
- trzeci kwadrat ma bok 11cm, więc drugi prostokąt miał wymiary 11cm i 18cm
- drugi kwadrat ma bok 18cm, więc pierwszy prostokąt miał wymiary 18cm i 29cm
- pierwszy kwadrat ma bok 29cm, więc wyjściowy prostokąt miał wymiary 29cm i 47cm
II:
- siódmy kwadrat ma bok 2cm, więc szósty prostokąt miał wymiary 2cm i 3cm
- szósty kwadrat ma bok 3cm, więc piąty prostokąt miał wymiary 3cm i 5cm
- piąty kwadrat ma bok 5cm, więc czwarty prostokąt miał wymiary 5cm i 8cm
.
.
.
- pierwszy kwadrat ma bok 44cm, więc wyjściowy prostokąt miał wymiary 44cm i 65cm
Zauważ, że boki kwadratów tworzą ciąg:
1, 3, 4, 7, 11, 18, 29
lub
2, 3, 5, 8, 13, 21, 44
taki, że od trzeciego wyrazu każdy jest sumą dwóch poprzednich
-
- Witam na forum
- Posty: 5
- Rejestracja: 07 gru 2011, 10:28
- Lokalizacja: Szczecin
- Płeć:
-
- Stały bywalec
- Posty: 387
- Rejestracja: 12 gru 2009, 15:45
- Lokalizacja: gdzieś nad Bałtykiem
- Podziękowania: 1 raz
- Otrzymane podziękowania: 36 razy
Re: 3 zadania liga matematyczna
zadanie 1.
Rozwinięcie jednego z rozwiązań
Mamy otrzymać 9 różnych kwadratów i prostokąt o bokach 1cm i 2cm. Gdy podzielimy prostokąt o bokach 1cm i 2cm otrzymamy dwa kwadraty o boku 1cm. Powierzchnia arkusza jest sumą kwadratów wyrazów ciągu Fibbonacciego 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89. Czyli mamy prostokąt 1cm x 2cm oraz dziewięć kwadratów o bokach odpowiednio 2cm, 3cm, 5cm, 8cm, 13cm, 21cm, 34cm, 55cm, 89cm. Arkusz papieru będzie mieć wymiary 89cm na 144cm (89cm + 55cm).
\(1^2+1^2+2^2+3^2+5^2+8^2+13^2+21^2+34^2+55^2+89^2=89(55+89)=89 \cdot 144=12816cm^2\)
Rozwinięcie jednego z rozwiązań
Mamy otrzymać 9 różnych kwadratów i prostokąt o bokach 1cm i 2cm. Gdy podzielimy prostokąt o bokach 1cm i 2cm otrzymamy dwa kwadraty o boku 1cm. Powierzchnia arkusza jest sumą kwadratów wyrazów ciągu Fibbonacciego 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89. Czyli mamy prostokąt 1cm x 2cm oraz dziewięć kwadratów o bokach odpowiednio 2cm, 3cm, 5cm, 8cm, 13cm, 21cm, 34cm, 55cm, 89cm. Arkusz papieru będzie mieć wymiary 89cm na 144cm (89cm + 55cm).
\(1^2+1^2+2^2+3^2+5^2+8^2+13^2+21^2+34^2+55^2+89^2=89(55+89)=89 \cdot 144=12816cm^2\)
-
- Guru
- Posty: 22300
- Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
- Otrzymane podziękowania: 9862 razy
- Płeć:
Re: 3 zadania liga matematyczna
No, tak - ja zapisałam sobie, że będzie 7, a nie 9 takich kwadratów.marcin77 pisze:zadanie 1.
Rozwinięcie jednego z rozwiązań
Mamy otrzymać 9 różnych kwadratów i prostokąt o bokach 1cm i 2cm. Gdy podzielimy prostokąt o bokach 1cm i 2cm otrzymamy dwa kwadraty o boku 1cm. Powierzchnia arkusza jest sumą kwadratów wyrazów ciągu Fibbonacciego 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89. Czyli mamy prostokąt 1cm x 2cm oraz dziewięć kwadratów o bokach odpowiednio 2cm, 3cm, 5cm, 8cm, 13cm, 21cm, 34cm, 55cm, 89cm. Arkusz papieru będzie mieć wymiary 89cm na 144cm (89cm + 55cm).
\(1^2+1^2+2^2+3^2+5^2+8^2+13^2+21^2+34^2+55^2+89^2=89(55+89)=89 \cdot 144=12816cm^2\)
-
- Guru
- Posty: 22300
- Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
- Otrzymane podziękowania: 9862 razy
- Płeć:
Re:
To nie do końca prawda.wieslaw-gg8947201 pisze:zad. 2 suma cyfr tej liczby wynosi zawsze 15, wiec jest podzielna przez 3, a nie jest podzielna przez 9
Każda z liczb zapisana przy pomocy tych cyfr dzieli się przez 3, więc suma tych liczb dzieli się przez 3 na pewno.
Zauważmy, że każda z tych liczb dzieli się przez 3, więc każda jest postaci 3n, gdzie n to liczba naturalna.
Mamy tu liczby postaci
\(a\cdot10^4+b\cdot10^3+c\cdot10^2+d\cdot10+e=3n\)
a, b, c, d, e to oczywiście dane cyfry w dowolnej kolejności.
Jeśli zamienimy miejscami dwie dowolne cyfry tej liczby - na przykład cyfry a i d, to otrzymamy liczbę:
\(d\cdot10^4+b\cdot10^3+c\cdot10^2+10a+e=a\cdot10^4+b\cdot10^3+c\cdot10^2+d\cdot10+e-a\cdot10^4+10a-10d+10^4d=3k+9090d-9090a=3k+9090(d-a)=3k+9\cdot t\)
Otrzymamy w ten sposób sumę liczby 3n i liczby podzielnej przez 9.
Taką liczbę (sumę liczby podzielnej przez 3 i liczby podzielnej przez 9) otrzymamy przy każdej wymianie dwóch cyfr miejscami.
Suma takich trzech liczb:
\(3k+9t+3k+9p+3k+9r=9(k+t+p+r)\)
dzieli się więc przez 9.
-
- Witam na forum
- Posty: 5
- Rejestracja: 07 gru 2011, 10:28
- Lokalizacja: Szczecin
- Płeć:
-
- Witam na forum
- Posty: 5
- Rejestracja: 07 gru 2011, 10:28
- Lokalizacja: Szczecin
- Płeć:
-
- Witam na forum
- Posty: 5
- Rejestracja: 07 gru 2011, 10:28
- Lokalizacja: Szczecin
- Płeć: