całki nieoznaczone

[anetaaneta1]

Mam pytanie czy oba sposoby rozwiązywania całek są dobre
I sposób
\(\int \frac{sinx}{cos^3x}=\begin{vmatrix}cosx=t \\ -sinxdx=dt\\sinxdx=-dt \end{vmatrix}=-\int \frac{dt}{t^3} dx =\int t^{-3} dx= \frac{1}{2}t^{-2}+C=\frac{1}{2cos^2x}+C dx\)

II sposób
\(\int \frac{sinx}{cos^3x}=\int \frac{tgx}{cos^2x}dx=\begin{vmatrix}t=tgx\\ dt= \frac{1}{cos^2x} \end{vmatrix} = \int tdt= \frac{1}{2}t^2+C= \frac{1}{2}tg ^2x dx\)

[radagast]

Nie, bo wyniki nie różnią się o stałą. II sposób daje dobry wynik
O kurcze, ale pierwszy też !
czyżby więc ....(?) Potem sie tym zajmę muszę wyjść

[radagast]

No pewnie ze tak!

\(\frac{1}{2cos^2x}=\frac{sin^2x+cos^2x}{2cos^2x}= \frac{1}{2} tg^2x + \frac{1}{2}\)

czyli rzeczywiście różnią się o stała ! Oba dobre. Trzeba tylko dopracować szczegóły (zapis)

[anetaaneta1]

to jaki powinien być ten zapis ?

[domino21]

\(\int \frac{sinx}{cos^3x}=\begin{vmatrix}cosx=t \\ -sinxdx=dt\\sinxdx=-dt \end{vmatrix}=-\int \frac{dt}{t^3} dx =-\int t^{-3} dx= \frac{1}{2}t^{-2}+C=\frac{1}{2cos^2x}+C\)

II sposób
\(\int \frac{sinx}{cos^3x}=\int \frac{tgx}{cos^2x}dx=\begin{vmatrix}t=tgx\\ dt= \frac{1}{cos^2x} dx \end{vmatrix} = \int tdt= \frac{1}{2}t^2+C= \frac{1}{2}tg ^2x+C\)

nie mam myszki, a na padzie nie chciało mi się pisać od nowa, więc poszedłem na łatwiznę