szereg

[suspicious20]

zbadać zbieżność szeregów:
1.\(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{sin(2n+1)}{n^2 -n}\)
2. \(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n^2 +5}{3^n \cdot n^3}\)

[arqivus]

1.
\(-1 \le sinx \le 1\)

Z twierdzenia o trzech ciągach:

\(\frac{-1}{n(n-1)} \le \frac{sin(2n+1)}{n(n-1)} \le \frac{1}{n(n-1)}\)

A wiemy, że szereg \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n-1)}\) jest zbieżny, wobec czego nasz oryginalny szereg także.

2.
Z kryterium Cauchy'ego:

\(\sqrt[n]{\frac{n^2+5}{3^n \cdot n^3}} = \frac{1}{3} < 1\)

Wobec czego ten szereg o wyrazach nieujemnych jest zbieżny

[suspicious20]

a skąd wiemy ze \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n-1)}\) jest zbiezny ? to jest jakis aksjomat ?

[suspicious20]

i nie widze tego skad wychodzi jedynka w liczniku w 2 przykladzie...

[radagast]

a skąd wiemy ze \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n-1)}\) jest zbiezny ? to jest jakis aksjomat ?

dobre pytanie :
\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n-1)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n-1}- \frac{1}{n}= \frac{1}{0}- \frac{1}{1}+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+ ... =\infty\)
ale
\(\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(n-1)}=\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n-1}- \frac{1}{n}= \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+ ... =1\)

[kamil13151]

\(\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(n-1)}=\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n-1}- \frac{1}{n}= \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+ ... =1\)

Ciekaw jestem skąd otrzymałaś \(\frac{1}{1}\)

[radagast]

\(\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(n-1)}=\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n-1}- \frac{1}{n}= \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+ ... =1\)

Ciekaw jestem skąd otrzymałaś \(\frac{1}{1}\)

no pewnie stąd :
\(\frac{1}{2-1}= \frac{1}{1}\)

[radagast]

i nie widze tego skad wychodzi jedynka w liczniku w 2 przykladzie...

\(\sqrt[n]{\frac{n^2+5}{3^n \cdot n^3}} = \frac{1}{3}\sqrt[n]{\frac{n^2+5}{ n^3}}= \frac{1}{3} \sqrt[n]{ \frac{1}{n} } = \frac{1}{3} < 1\)

[arqivus]

a skąd wiemy ze \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n-1)}\) jest zbiezny ? to jest jakis aksjomat ?

dobre pytanie :
\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n-1)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n-1}- \frac{1}{n}= \frac{1}{0}- \frac{1}{1}+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+ ... =\infty\)
ale
\(\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(n-1)}=\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n-1}- \frac{1}{n}= \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+ ... =1\)

Ale wiadomo o co chodziło.

[kamil13151]

\(\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(n-1)}=\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n-1}- \frac{1}{n}= \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+ ... =1\)

Ciekaw jestem skąd otrzymałaś \(\frac{1}{1}\)

no pewnie stąd :
\(\frac{1}{2-1}= \frac{1}{1}\)

ehh, spojrzałem na główny szereg ;d

[radagast]

a skąd wiemy ze \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n-1)}\) jest zbiezny ? to jest jakis aksjomat ?

dobre pytanie :
\(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n-1)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n-1}- \frac{1}{n}= \frac{1}{0}- \frac{1}{1}+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+ ... =\infty\)
ale
\(\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(n-1)}=\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n-1}- \frac{1}{n}= \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+ ... =1\)

Ale wiadomo o co chodziło.

Ja jeszcze wiem.
pokazłam tylko , ze uzasadnienia arqivusa (ze szereg jest zbieżny) nie jest dobre, ale trochę go wytłumaczyłam ze gdyby to było od 2, to miałby racje

[arqivus]

Ja jeszcze wiem.
pokazłam tylko , ze uzasadnienia arqivusa (ze szereg jest zbieżny) nie jest dobre, ale trochę go wytłumaczyłam ze gdyby to było od 2, to miałby racje

Pominięcie skończonej ilości początkowych wyrazów szeregu nie wpływa na jego zbieżność. Chyba.

[radagast]

Ja jeszcze wiem.
pokazłam tylko , ze uzasadnienia arqivusa (ze szereg jest zbieżny) nie jest dobre, ale trochę go wytłumaczyłam ze gdyby to było od 2, to miałby racje

Pominięcie skończonej ilości początkowych wyrazów szeregu nie wpływa na jego zbieżność. Chyba.

Nawet na pewno. Tylko trzeba staranie formułować treść zadania