Granice

[aleksandrapyrpec]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu granic:
\(\lim_{n\to \infty } \frac{ \sqrt{n} - 2 }{3n+5}\)

\(\lim_{n\to \infty } \frac{(-1)^n}{2n-1}\)

\(\lim_{n\to \infty } ( \frac{3}{n} - \frac{10}{ \sqrt{n} } )\)

\(\lim_{n\to \infty } \frac{ (\sqrt{n} +3)^2}{n+1}\)

\(\lim_{x\to \infty } \frac{(-0,8)^n}{2n-5}\)

\(\lim_{n\to \infty } \frac{2n + (-1)^n}{n}\)

\(\lim_{n\to \infty } \frac{ \sqrt{1+2n^2} - \sqrt{1+4n^2} }{n}\)

\(\lim_{n\to \infty } \sqrt{ \frac{3n-2}{n+10} }\)

\(\lim_{n\to \infty } \sqrt[3]{ \frac{n-1}{8n+10} }\)

Wiem że przykładów jest sporo, ale zbliża mi się wielkimi krokami kolokwium i usiłuję zrozumieć mechanizm rozwiązywania tego typu zadań.

Proszę też o wytłumaczenie w jakich przypadkach można dzielić przez n z najwyższą potęgą z mianownika. W przypadku gdy mamy \(\frac{ \infty }{ \infty }\)?

[aleksandrapyrpec]

Z przykładem
\(\lim_{x\to \infty } \frac{(-0,8)^n}{2n-5}\)
sobie już poradziłam.

[aleksandrapyrpec]

Z tym przykładem
\(\lim_{n\to \infty } \frac{ \sqrt{1+2n^2} - \sqrt{1+4n^2} }{n}\)
również.

[aleksandrapyrpec]

Proszę również o rozwiązanie przykładu
\(\lim_{n\to \infty } \frac{1}{ \sqrt{4n^2 + 7n} -2n}\)
W odpowiedziach jest \(\frac{4}{7}\) a mi wychodzi ciągle \(\frac{2}{7}\) .

[alexx17]

\(\frac{1}{ \sqrt{4n^2 + 7n} -2n} \cdot \frac{ \sqrt{4n^2 + 7n} +2n}{ \sqrt{4n^2 + 7n} -2n} = \frac{ \sqrt{4n^2 + 7n} +2n}{7n}= \frac{2n(\sqrt{1+ \frac{7}{4n} }+1)}{7n} \to \frac{2(sqrt{1+0}+1)}{7}= \frac{2 \cdot 2}{7}= \frac{4}{7}\)

[aleksandrapyrpec]

A pozostałe zadania? <prosi>

[Galen]

\(\lim_{n\to \infty } \sqrt[3]{ \frac{n-1}{8n+10} }= \lim_{n\to \infty } \sqrt[3]{ \frac{n(1- \frac{1}{n}) }{n(8+ \frac{10}{n}) } }= \\=\lim_{n\to \infty } \sqrt[3]{ \frac{1- \frac{1}{n} }{8+ \frac{10}{n} } }= \sqrt[3]{ \frac{1-0}{8+0} }= \sqrt[3]{ \frac{1}{8} }= \frac{1}{2}\)

[Galen]

W drugim (licząc od końca) też dzielisz licznik i mianownik przez n, a potem pierwiastkujesz.
\(\lim_{n\to \infty } \sqrt{ \frac{3n-2}{n+10} }= \lim_{n\to \infty } \sqrt{ \frac{3- \frac{2}{n} }{1+ \frac{10}{n} } }= \sqrt{ \frac{3-0}{1+0} }= \sqrt{3}\)

\(\lim_{n\to \infty } \frac{ \sqrt{1+2n^2}- \sqrt{1+4n^2} }{n}= \lim_{n\to \infty } \frac{n[ \sqrt{ \frac{1}{n^2}+2 }- \sqrt{ \frac{1}{n^2}+4 }] }{n}\;(skracasz\;n)= \sqrt{0+2}- \sqrt{0+4}= \sqrt{2}-2\)

[aleksandrapyrpec]

A mogłabym prosić o wytłumaczenie, skąd taki wynik w takim zadaniu:
\(\lim_{n \to \infty } \left( \frac{3}{2} \right)^{n} \frac{ 2^{n+1}-1 }{ 3^{n+1}-1 } = \lim_{n \to \infty } \left( \frac{3}{2} \right)^{n} \frac{ 2^{n}*2-1 }{ 3^{n}*3-1 } = \lim_{n \to \infty } \left( \frac{3}{2} \right)^{n} \frac{ (\frac{2}{3})^{n}*2-(\frac{1}{3})^{n} }{3-(\frac{1}{3})^{n} } = \frac{2}{3}\)??


Bo to że \((\frac{2}{3})^{n} * (\frac{3}{2})^{n} = 1\) to wiem, ale czy nie powinno być to tak:
\(\lim_{n \to \infty } \left( \frac{3}{2} \right)^{n} (\frac{ (\frac{2}{3})^{n}*2-(\frac{1}{3})^{n} }{3-(\frac{1}{3})^{n} })\) = \(\lim_{n\to \infty } \frac{ (\frac{3}{2})^n*( \frac{2}{3} )^n*2 - (\frac{3}{2})^n* (\frac{1}{3})^n }{3- (\frac{1}{3})^n }\)?

[Galen]

\(\lim_{n\to \infty } \frac{( \sqrt{n}+3)^2 }{n+1}= \lim_{n\to \infty } \frac{n+6 \sqrt{n}+9 }{n+1}= \lim_{n\to \infty } \frac{n(1+ \frac{6}{ \sqrt{n}+ \frac{9}{n}) } }{n(1+ \frac{1}{n}) }= \frac{1+0+0}{1+0}=1\)

[Galen]

Jeśli podstawa potęgi jest ułamkiem zawartym między liczbami -1 i 1,to ich potęga o wykładniku n dąży do 0.
Jeśli podstawa jest większa od 1,to potęga o wykładniku n dąży do nieskończoności.

W przykładzie o który pytasz jest to samo,ale zapis "na skróty"
Granica \(=\frac{1\cdot 2-0}{3-0}=\frac{2}{3}\) i to w obu zapisach

[aleksandrapyrpec]

Ah czyli \(( \frac{3}{2} )^n * ( \frac{1}{3} )^n \to 0\) bo po skróceniu ze sobą \(3^n\) zostaje \((\frac{1}{2})^n \to 0\)?

[Galen]

Tak.