granica z e

[suspicious20]

obliczyć granicę:
\(a_n = (\frac{4^n +2}{7^n +1})^{ \frac{1}{n} }\)
nie mam pomysłu jak sie za to zabrać... tu chyba trzeba połączyc definicje literki e z tw o trzech ciagach ale nie wiem jak.

Odp: \(\frac{4}{7}\)

[suspicious20]

Proszę jeszcze o wytłumaczenie tego przykładu:
\(a_n = \frac{1}{n} e^{sin( \frac{1}{n})}\)

[Galen]

\(\lim_{n\to \infty } \frac{1}{n}\cdot e^{sin( \frac{1}{n})}=0 \cdot e^{sin0}=0\cdot e^0=0 \cdot 1=0\)

[suspicious20]

a mialbys jakis pomysl na to wczesniejsze ?

[Pol]

\(\( \frac{4^n +2}{7^n +1} \)^{ \frac{1}{n} } = \frac{\sqrt[n]{4^n+2}}{\sqrt[n]{7^n+1}}\)

\(\frac{\sqrt[n]{4^n}}{\sqrt[n]{7^n+7^n}} \le \frac{\sqrt[n]{4^n+2}}{\sqrt[n]{7^n+1}} \le \frac{\sqrt[n]{4^n+4^n}}{\sqrt[n]{7^n}}\)

stąd mamy że

\(\lim_{n\to \infty } \( \frac{4^n +2}{7^n +1} \)^{ \frac{1}{n} } = \frac 4 7\)