=Witam, zupełnie nie mogę sobie poradzić z zadaniem obliczenia granic ciągów:
1. \lim_{x\to \infty } ( \frac{1}{n} )^ tg \frac{1}{n}
granice
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
radagast
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
Re: granice
\(\lim_{n\to \infty } ( \frac{1}{n} )^ {tg \frac{1}{n}}=\lim_{n\to \infty } e^{ln \left( ( \frac{1}{n} )^ {tg \frac{1}{n}}\right) }=\lim_{n\to \infty } e^{{tg \frac{1}{n}} \cdot ln \frac{1}{n} }= (*)\)
\(\lim_{n\to \infty }tg \frac{1}{n} \cdot ln \frac{1}{n}=-\lim_{n\to \infty }tg \frac{1}{n} \cdot ln n=-\lim_{n\to \infty }tg \frac{1}{n} \cdot ln n=-\lim_{n\to \infty } \frac{tg \frac{1}{n} }{ \frac{1}{ln n} } =^H-\lim_{n\to \infty } \frac{ \frac{1}{cos^2{ \frac{1}{n} } } \cdot \frac{1}{n^2} }{ \frac{1}{ ln^2n} \cdot \frac{1}{n} } =-\lim_{n\to \infty } \frac{ \frac{1}{cos^2{ \frac{1}{n} } } \cdot \frac{1}{n} }{ \frac{1}{ ln^2n} } =
-\lim_{n\to \infty } \frac{ \frac{1}{cos^2{ \frac{1}{n} } } \cdot ln^2n }{ n } =-\lim_{n\to \infty } \frac{1}{cos^2{ \frac{1}{n} } } \cdot \lim_{n\to \infty } \frac{ln^2n}{n} =-\lim_{n\to \infty } \frac{ln^2n}{n} =^H=-\lim_{n\to \infty } \frac{ 2 ln n}{n} =^H-\lim_{n\to \infty } \frac{ 2 }{n} =0\)
No to \((*)=e^0=1\)
\(\lim_{n\to \infty }tg \frac{1}{n} \cdot ln \frac{1}{n}=-\lim_{n\to \infty }tg \frac{1}{n} \cdot ln n=-\lim_{n\to \infty }tg \frac{1}{n} \cdot ln n=-\lim_{n\to \infty } \frac{tg \frac{1}{n} }{ \frac{1}{ln n} } =^H-\lim_{n\to \infty } \frac{ \frac{1}{cos^2{ \frac{1}{n} } } \cdot \frac{1}{n^2} }{ \frac{1}{ ln^2n} \cdot \frac{1}{n} } =-\lim_{n\to \infty } \frac{ \frac{1}{cos^2{ \frac{1}{n} } } \cdot \frac{1}{n} }{ \frac{1}{ ln^2n} } =
-\lim_{n\to \infty } \frac{ \frac{1}{cos^2{ \frac{1}{n} } } \cdot ln^2n }{ n } =-\lim_{n\to \infty } \frac{1}{cos^2{ \frac{1}{n} } } \cdot \lim_{n\to \infty } \frac{ln^2n}{n} =-\lim_{n\to \infty } \frac{ln^2n}{n} =^H=-\lim_{n\to \infty } \frac{ 2 ln n}{n} =^H-\lim_{n\to \infty } \frac{ 2 }{n} =0\)
No to \((*)=e^0=1\)
-
Galen
- Guru
- Posty: 18457
- Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 9161 razy
\(\lim_{n\to \infty }( \frac{1}{n})^{tg( \frac{1}{n})}= \lim_{n\to \infty }n^{-tg( \frac{1}{n})}= \lim_{n\to \infty }e^{ln n^{-tg( \frac{1}{n})}=...........\)
Obliczasz granicę logarytmu naturalnego w wykładniku i potem wstawiasz....
\(\lim_{n\to \infty }ln n^{-tg( \frac{1}{n})}= \lim_{n\to \infty }(-tg( \frac{1}{n}) \cdot ln n= \lim_{n\to \infty } \frac{-tg( \frac{1}{n}) }{ \frac{1}{ln n} }=(H)= \lim_{n\to \infty } \frac{\frac{-1}{cos^2x}}{n}= \frac{-1}{ \infty }=0\)
Wracając do granicy wyjściowej masz:
\(....=e^0=1\)
Obliczasz granicę logarytmu naturalnego w wykładniku i potem wstawiasz....
\(\lim_{n\to \infty }ln n^{-tg( \frac{1}{n})}= \lim_{n\to \infty }(-tg( \frac{1}{n}) \cdot ln n= \lim_{n\to \infty } \frac{-tg( \frac{1}{n}) }{ \frac{1}{ln n} }=(H)= \lim_{n\to \infty } \frac{\frac{-1}{cos^2x}}{n}= \frac{-1}{ \infty }=0\)
Wracając do granicy wyjściowej masz:
\(....=e^0=1\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.
Re: granice
acha jest jeden mały probłem, koleżanka zapomniała chyba dodać założenia że Hospital nie wchodzi w grę.