zbadać zbieżność z kryt. Leibnitza

[ankaaa993]

\(\sum_{n=1}^{ \infty } (-1)^{n} \cdot \frac{1}{log2n}\)

[octahedron]

\(\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\log (2n)}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\log 2+\log n}=\frac{1}{\log 2+\infty}=0
\frac{1}{\log (2(n+1))}<\frac{1}{\log (2n)}\)

czyli spełnia założenia kryterium, więc jest zbieżny

[ankaaa993]

ja to zrobiłam tak:
\(\lim_{n\to \infty } a_{n}= \lim_{n\to \infty } \frac{1}{log2n} =[ \frac{1}{ \infty } ]=0\)
Mianownik dąży do nieskończoności,bo:
np.\(10^{1}=2n,n=5;
10^{2}=2n, n=50\)
2)badamy czy ciąg jest malejący
\(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}<1
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{ \frac{1}{log2(n+1)} }{ \frac{1}{log2n} }
= \frac{1}{log2n+log2} \cdot log2n=
\frac{log2n}{log2n+log2}\)
\(log2>0\), stąd wiemy,że \(a_{n+1}<a_{n}\) zatem będzie to ciąg zbieżny, bo w każdym jego wyrazie mianownik będzie większy od licznika.

Nie wiem czy tak może być..

[octahedron]

Może, w zasadzie to jest to samo, tylko trochę inaczej.