6. Niech \(an = 2n-6^n+ \frac{1}{n}\) dla n=1,2,3... Sprawdzic czy:
a) ciąg an jest malejący,
b) ciąg an jest ograniczony z góry.
ciag ograniczony z gory
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
\(a_n=2n-6^n+\frac{1}{n}\\a_{n+1}=2(n+1)-6^{n+1}+\frac{1}{n+1}=2n+2-6\cdot6^n+\frac{1}{n+1}\)
\(a_{n+1}-a_n=2n+2-6\cdot6^n+\frac{1}{n+1}-2n+6^n-\frac{1}{n}=2-5\cdot6^n+\frac{n-n-1}{n(n+1)}=2-5\cdot6^n-\frac{1}{n(n+1)}\\\forall_{n\in N_+}\ a_{n+1}-a_n<0\)
Ciąg jest malejący.
Ciąg malejący jest ograniczony z góry
\(a_1=2-6+1=-3\)
Liczba -3 ogranicza ten ciąg z góry.
\(a_{n+1}-a_n=2n+2-6\cdot6^n+\frac{1}{n+1}-2n+6^n-\frac{1}{n}=2-5\cdot6^n+\frac{n-n-1}{n(n+1)}=2-5\cdot6^n-\frac{1}{n(n+1)}\\\forall_{n\in N_+}\ a_{n+1}-a_n<0\)
Ciąg jest malejący.
Ciąg malejący jest ograniczony z góry
\(a_1=2-6+1=-3\)
Liczba -3 ogranicza ten ciąg z góry.