Są to granice z książki Krysickiego i Włodarskiego, z którymi nie mogę sobie poradzić
a)\(\lim_{x\to 2 } \frac{x^{2}-1}{x-2}\)
b)\(\lim_{x\to -1 } \frac{x^{2}-1}{x+1}\)
c)\(\lim_{x\to 0 } \frac{ \sqrt{x^{2}+1}- \sqrt{x+1} }{1- \sqrt{x+1} }\)
d)\(\lim_{x\to 0} \frac{4x}{3sin2x}\)
e) \(\lim_{x\to \pi } \frac{1+cosx}{sin^{2}x}\)
f) \(\lim_{x\to 0} \frac{ \sqrt{x^{2}+1}-1 }{ \sqrt{x^{2}+25}-5 }\)
granice funkcji
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Guru
- Posty: 18457
- Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 9161 razy
\(\lim_{x\to 2_-} \frac{x^2-1}{x-2}= \frac{3}{0_-}=- \infty \\
\lim_{x\to 2+} \frac{x^2-1}{x-2}= \frac{3}{0_+}=+ \infty\)
b)
\(\lim_{x\to -1} \frac{x^2-1}{x+1}= \lim_{x\to -1} \frac{(x-1)(x+1)}{x+1}= \lim_{x\to -1}(x-1)=-2\)
c)
\(\lim_{x\to 0} \frac{ \sqrt{x^2+1}- \sqrt{x+1} }{1- \sqrt{x+1} } \cdot \frac{1+ \sqrt{x+1} }{1+ \sqrt{x+1} } \cdot \frac{ \sqrt{x^2+1}+ \sqrt{x+1} }{ \sqrt{x^2+1}+ \sqrt{x+1} }=\)
\(= \lim_{x\to 0} \frac{(x^2+1-x-1) (1+ \sqrt{x+1} }{(1-x-1)( \sqrt{x^2+1}+ \sqrt{x+1}) }= \lim_{x\to 0} \frac{(1-x)(1+ \sqrt{x+1}) }{ \sqrt{x^2+1}+ \sqrt{x+1} }=\frac{2}{2}=1\)
\lim_{x\to 2+} \frac{x^2-1}{x-2}= \frac{3}{0_+}=+ \infty\)
b)
\(\lim_{x\to -1} \frac{x^2-1}{x+1}= \lim_{x\to -1} \frac{(x-1)(x+1)}{x+1}= \lim_{x\to -1}(x-1)=-2\)
c)
\(\lim_{x\to 0} \frac{ \sqrt{x^2+1}- \sqrt{x+1} }{1- \sqrt{x+1} } \cdot \frac{1+ \sqrt{x+1} }{1+ \sqrt{x+1} } \cdot \frac{ \sqrt{x^2+1}+ \sqrt{x+1} }{ \sqrt{x^2+1}+ \sqrt{x+1} }=\)
\(= \lim_{x\to 0} \frac{(x^2+1-x-1) (1+ \sqrt{x+1} }{(1-x-1)( \sqrt{x^2+1}+ \sqrt{x+1}) }= \lim_{x\to 0} \frac{(1-x)(1+ \sqrt{x+1}) }{ \sqrt{x^2+1}+ \sqrt{x+1} }=\frac{2}{2}=1\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.
-
- Guru
- Posty: 18457
- Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 9161 razy
d)
\(\lim_{x\to 0} \frac{4x}{3sin2x}= \lim_{x\to 0} \frac{2}{3} \cdot \frac{2x}{sin2x}= \frac{2}{3} \cdot 1= \frac{2}{3}\)
e)
\(\lim_{x\to \pi } \frac{1+cosx}{1-cos^2x}= \lim_{x\to \pi} \frac{1+cosx}{(1+cosx)(1-cosx)} = \lim_{x\to \pi} \frac{1}{1-cosx}= \frac{1}{2}\)
f)
\(\lim_{x\to 0} \frac{ \sqrt{x^2+1}-1 }{ \sqrt{x^2+25}-5 }= \lim_{x\to 0} \frac{( \sqrt{x^2+1}-1)( \sqrt{x^2+1}+1)( \sqrt{x^2+25}+5) }{( \sqrt{x^2+1}+1)( \sqrt{x^2+25}+5)( \sqrt{x^2+25}-5) }= \lim_{x\to 0} \frac{x^2( \sqrt{x^2+25}+5) }{( \sqrt{x^2+1}+1) x^2 }= \frac{10}{2}=5\)
\(\lim_{x\to 0} \frac{4x}{3sin2x}= \lim_{x\to 0} \frac{2}{3} \cdot \frac{2x}{sin2x}= \frac{2}{3} \cdot 1= \frac{2}{3}\)
e)
\(\lim_{x\to \pi } \frac{1+cosx}{1-cos^2x}= \lim_{x\to \pi} \frac{1+cosx}{(1+cosx)(1-cosx)} = \lim_{x\to \pi} \frac{1}{1-cosx}= \frac{1}{2}\)
f)
\(\lim_{x\to 0} \frac{ \sqrt{x^2+1}-1 }{ \sqrt{x^2+25}-5 }= \lim_{x\to 0} \frac{( \sqrt{x^2+1}-1)( \sqrt{x^2+1}+1)( \sqrt{x^2+25}+5) }{( \sqrt{x^2+1}+1)( \sqrt{x^2+25}+5)( \sqrt{x^2+25}-5) }= \lim_{x\to 0} \frac{x^2( \sqrt{x^2+25}+5) }{( \sqrt{x^2+1}+1) x^2 }= \frac{10}{2}=5\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.