całki

[alicja403]

Oblicz
\(\int_{0}^{ \frac{1}{2} } arcsinx dx\)
moja odp. \(\frac{pi}{6} + \frac{ \sqrt{3} }{2} -1\) Proszę o spr

\(\int_{0}^{pi}sinx e^{cosx} dx\)
moja odp. \(e^{-1}- \frac{1}{e}\) proszę o spr

\(\int_{0}^{1}x arctgx dx\)

zaczęłam rozwiązywanie od metody przez części po czym doszłam do wyrażenia \(\int \frac{x^2}{1+x^2}\) i nie wiem jak to dalej liczyc, na pewno jakoś przez podstawienie, ale nie wiem za co podstawic. Proszę o pomoc

[octahedron]

\(\int_{0}^{ \frac{1}{2} } \mbox{arcsin}x dx=\int_{0}^{ \frac{1}{2} } x'\mbox{arcsin}x dx=[x\mbox{arcsin}x]{\small _{0}^{ \frac{1}{2} }}-\int_{0}^{ \frac{1}{2} } \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx=\frac{\pi}{12}+\int_{0}^{ \frac{1}{2} } (\sqrt{1-x^2})' dx=\\=\frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt{3}}{2}-1
\int_{0}^{\pi}\sin x e^{\cos x} dx=\int_{0}^{\pi}\(-e^{\cos x}\)' dx=-e^{-1}+e^{1}=e-\frac{1}{e}
\int_{0}^{1}x \mbox{arctg}x dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}(x^2)' \mbox{arctg}x dx=\[\frac{1}{2}x^2\mbox{arctg}x\]_0^1-\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{x^2}{1+x^2}dx=\\=\frac{\pi}{8}-\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\frac{1+x^2-1}{1+x^2}dx=\frac{\pi}{8}-\frac{1}{2}\int_{0}^{1}1-\frac{1}{1+x^2}dx=\frac{\pi}{8}-\frac{1}{2}[x-\mbox{arctg}x]_{0}^{1}=\frac{\pi}{8}-\frac{1}{2}+\frac{\pi}{8}=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\)