Parametr - układ równań liniowych

[alicja_91]

\(\begin{cases} \alpha x+y+z+t=1\\x-y+z+t=-1\\x+y-z+t=1\\x+y+z-t=-1 \end{cases}\)

Dla jakiego parametru \(\alpha \in R\) układ posiada rozwiązanie?

Nie mam pojęcia, jak to rozwiązać, gdyby nie było parametru to bez problemu bym rozwiązała. Ale jest parametr, nie wiem, co zacząć. Dlatego zwracam się do Was o pomoc.

[ewelawwy]

\(\begin{bmatrix}\alpha &1&1&1&1\\1&-1&1&1&-1\\1&1&-1&1&1\\1&1&1&-1&-1\end{bmatrix}\ \longrightarrow \ \begin{bmatrix}1&1&1&-1&-1\\1&-1&1&1&-1\\1&1&-1&1&1\\ \alpha &1&1&1&1\end{bmatrix}\ \longrightarrow \ \begin{bmatrix}1&1&1&-1&-1\\0&-2&0&2&0\\0&0&-2&2&2\\ 0 &1-\alpha &1-\alpha&1+\alpha&1+\alpha\end{bmatrix}\ \longrightarrow \ \\
\begin{bmatrix}1&1&1&-1&-1\\0&1&0&-1&0\\0&0&-2&2&2\\ 0 &1-\alpha &1-\alpha&1+\alpha&1+\alpha\end{bmatrix}\ \longrightarrow \ \begin{bmatrix}1&1&1&-1&-1\\0&1&0&-1&0\\0&0&1&-1&-1\\ 0 &0 &1-\alpha&2&1+\alpha\end{bmatrix}\ \longrightarrow \ \begin{bmatrix}1&1&1&-1&-1\\0&1&0&-1&0\\0&0&1&-1&-1\\ 0 &0 &0&3-\alpha &2\end{bmatrix}\)

\((3-\alpha )t=2\\
t=\frac 2{3-\alpha}.\ \alpha \neq 3\\
z-t=-1\\
z-\frac 2{3-\alpha}=-1\\
z=-1+\frac 2{3-\alpha}\\
z=\frac {2-3+\alpha}{3-\alpha}=\frac {\alpha -1}{3-\alpha}, \ \alpha \neq 3\\
y-t=0\\
y=t=\frac 2{3-\alpha},\ \alpha \neq 3\\
x+y+z-t=-1\\
x+\frac 2{3-\alpha}+\frac {\alpha -1}{3-\alpha}+\frac 2{3-\alpha}=-1\\
x=-1-\frac{3+\alpha}{3-\alpha}\\
x=\frac{\alpha -3-3-\alpha}{3-\alpha}=\frac{6}{\alpha -3}, \ \alpha \neq 3\)

czyli \(\forall \alpha \neq 3\) równanie ma rozwiązanie:
\(\{x=\frac{6}{\alpha -3}\\
y=\frac 2{3-\alpha}\\
z=\frac {\alpha -1}{3-\alpha}\\
t=\frac 2{3-\alpha}\)