Ciąg

[lAlexl]

Po raz kolejny potrzebuję aby ktoś mi rozpisał ciąg krok po kroku. Wynik powinien wyjść \(\frac{1}{2}\). Mi za każdym razem wychodzi co innego.

\(\lim_{x\to 0 } \frac{tgx-sinx}{sin^3x}\)

I jeszcze taki ciąg tu też powinien być wynik \(\frac{1}{2}\).

\(\lim_{x\to 3} \frac{arctg(3x-9)}{x^2-9}\)

[Murarz]

\(\lim_{x\to 0}\frac{tgx-sinx}{sin^3x}= \lim_{x\to 0}\frac{sinx-sinxcosx}{sin^3xcosx}= \lim_{x\to 0}\frac{1-cosx}{(1-cos^2x)cosx}= \lim_{x\to 0}\frac{1-cosx}{(1-cos^2x)cosx}\frac{1+cosx}{1+cosx}= \\
\\=\lim_{x\to 0}\frac{(1-cos^2x)}{(1-cos^2x)(1+cosx)cosx}= \lim_{x\to 0}\frac{1}{cosx(1+cosx)}=\frac{1}{2}\)

[Murarz]

\(\lim_{x\to 3}\frac{argtg(3x-9)}{x^2-9}=\lim_{x\to 3}\frac{arctg(3x-9)}{3x-9}\cdot \frac{3x-9}{x^2-9}=\lim_{x\to 3}\frac{arctg(3x-9)}{3x-9}\cdot \frac{3}{x+3}=1\cdot \frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)

\(\lim_{x\to 3} \frac{arctg(3x-9)}{3x-9}=1\) bo \(\lim_{x\to 0}\frac{arctgx}{x}=1\)