twierdzenie o 3 ciągach/definicja liczby e i podciąg

[mcmcjj]

1. Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach znaleźć granice:

a) \(\lim_{n\to \infty } \frac{2n+(-1)^{n}}{3n+2}\)

b) \(\lim_{n\to \infty } \frac{[n \pi ]}{n}\), te nawiasy kwadratowe to entie

c) \(\lim_{n\to \infty } \frac{[n \sqrt{2} ]}{[n \sqrt{3}] }\)

ad. "a"

Czy dobre będą dwa takie ciągi:

\(\lim_{n\to \infty } \frac{2n}{3n}\) o większych wyrazach

\(\lim_{n\to \infty } \frac{2n}{3n+2}\) o mniejszych wyrazach

Ich granice to \(\frac{2}{3}\). I wtedy taka będzie granica zadanego ciągu (?)

2. Korzystając z definicji liczby e oraz z twierdzenia o granicy podciągu obliczyć granice. Tu mam problem z jednym przykładem: \(\lim_{n\to \infty } (( \frac{3n+2}{5n+2})^{n} (\frac{5n+3}{3n+1})^{n})\).

[ewelawwy]

ad. "a"

Czy dobre będą dwa takie ciągi:

\(\lim_{n\to \infty } \frac{2n}{3n}\) o większych wyrazach

\(\lim_{n\to \infty } \frac{2n}{3n+2}\) o mniejszych wyrazach

dla n=1:

\(\frac{2n+(-1)^{n}}{3n+2}: \ \frac{2-1}{3+2}=\frac 15\)
\(\frac{2n}{3n+2}: \ \frac{2}{3+2}=\frac 25 >\frac 15\)

ja bym wzięła tutaj po prostu :
\(\frac{2n-1}{3n+2}\le \frac{2n+(-1)^{n}}{3n+2} \le \frac{2n+1}{3n+2}\)

[mcmcjj]

Dzięki. Nikt nie wie jak zrobić podpunkty b/c (te z entie) ?

[ewelawwy]

b)
\(\lim_{n\to \infty } \frac{n \pi -1}{n}\le \lim_{n\to \infty } \frac{\lfloor n \pi\rfloor }{n}\le \lim_{n\to \infty } \frac{n \pi}{n}\)

\(\lim_{n\to \infty } \frac{n \pi -1}{n}=\pi\\ \lim_{n\to \infty } \frac{n \pi}{n} =\pi\)\(\ \ \ \ \}\ \ \lim_{n\to \infty } \frac{\lfloor n \pi\rfloor }{n} =\pi\)

[mcmcjj]

Dzięki.