monotonicznośc, ograniczoność i granica ciągu

[MrVonzky]

Korzystając z twierdzenie o ciągu monotonicznym i ograniczonym uzasadnić zbieżność ciągu:

\(a_n= \frac{1}{5+1} + \frac{1}{5^2 + 2} + ... + \frac{1}{5^n+n}\)

w sensie, że jest np ograniczony z dołu przez 0 a z góry przez 2? A co z monotonicznością, badam tylko ostatni czynnik?

[radagast]

\(a_n= \frac{1}{5+1} + \frac{1}{5^2 + 2} + ... + \frac{1}{5^n+n}=a_{n-1}+ \frac{1}{5^n+n}\)
No to \(a_n-a_{n-1}= \frac{1}{5^n+n>0 }\Rightarrow\) ciąg jest rosnący,
a prościej:
żeby otrzymać następny wyraz ciągu muszę dodać coś nieujemnego (a nawet dodatniego) - no to rosnący

[MrVonzky]

ale przecież mianowniki się zwiększają...

[radagast]

To nic nie zmienia ... i tak do poprzedniego wyrazu musisz dodać coś nieujemnego (a ze dodajesz coraz mniej ... to nic)