\(\lim_{x\to 0 }(1+tgx)^{\frac{1}{2x}}\)
czy żeby coś dążyło do \(e\) to granica musi być w nieskończoności tak?
granica funkcji, tg
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Galen
- Guru
- Posty: 18457
- Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 9161 razy
\(\lim_{x\to 0}(1+tgx)^{ \frac{1}{2x}}= \lim_{x\to 0}e^{ln(1+tgx)^{ \frac{1}{2x}}}\)
Policz granicę wykładnika potęgi
\(\lim_{x\to 0}ln(1+tgx)^{ \frac{1}{2x}}= \lim_{x\to 0} \frac{1}{2x} \cdot ln(1+tgx)= \lim_{x\to 0} \frac{ln(1+tgx)}{2x}=[ \frac{0}{0}](H)= \lim_{x\to 0}\frac{ \frac{ \frac{1}{cos^2x} }{1+tgx}}{2}=\)
\(= \lim_{x\to 0} \frac{ \frac{1}{cos^2x} }{1+ \frac{sinx}{cosx} } \cdot \frac{1}{2}= \frac{1}{1+ \frac{0}{1} } \cdot \frac{1}{2}= \frac{1}{2}\)
Wracasz do obliczanej granicy.
\(\lim_{x\to 0}(1+tgx)^{ \frac{1}{2x}}=e^{ \frac{1}{2}}= \sqrt{e}\)
Policz granicę wykładnika potęgi
\(\lim_{x\to 0}ln(1+tgx)^{ \frac{1}{2x}}= \lim_{x\to 0} \frac{1}{2x} \cdot ln(1+tgx)= \lim_{x\to 0} \frac{ln(1+tgx)}{2x}=[ \frac{0}{0}](H)= \lim_{x\to 0}\frac{ \frac{ \frac{1}{cos^2x} }{1+tgx}}{2}=\)
\(= \lim_{x\to 0} \frac{ \frac{1}{cos^2x} }{1+ \frac{sinx}{cosx} } \cdot \frac{1}{2}= \frac{1}{1+ \frac{0}{1} } \cdot \frac{1}{2}= \frac{1}{2}\)
Wracasz do obliczanej granicy.
\(\lim_{x\to 0}(1+tgx)^{ \frac{1}{2x}}=e^{ \frac{1}{2}}= \sqrt{e}\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.