mam obliczyć:
1. \(\int_{}^{} \frac{4 \cdot \sqrt[4]{5 \cdot x^3} }{6 \cdot \sqrt[3]{x} } \cdot dx\)
odp to \(\frac{8}{17} \sqrt[12]{125x^{17}}\)
generalnie to nie rozumiem skąd oni wzięli 125 pod pierwiastkiem...
2.
\(\int_{}^{} \frac{x-1}{ \sqrt[3]{x+1} } \cdot dx\)
odp: \(\frac{3}{5}(x-4) \sqrt[3]{(x+1)^2}\)
całki
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
jola
- Expert
- Posty: 5246
- Rejestracja: 16 lut 2009, 23:02
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 1967 razy
- Płeć:
zad 2
\(\sqrt[3]{x+1}=t\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x=t^3-1\ \ \ \Rightarrow \ \ \ dx=3t^2dt\)
\(\int_{}^{} \frac{x-1}{ \sqrt[3]{x+1} } dx= \int_{}^{} ( \frac{t^3-2}{t} \cdot 3t^2)dt=3 \int_{}^{}(t^4-2t)dt= \frac{3}{5} t^5-3t^2+C=\\ = \frac{3}{5} (\sqrt[3]{x+1})^5-3( \sqrt[3]{x+1} )^2+C=3 (\sqrt[3]{x+1})^2( \frac{1}{5}x+ \frac{1}{5} -1)+C=\\= \frac{3}{5} \sqrt[3]{(x+1)^2}(x-4)+C\)
\(\sqrt[3]{x+1}=t\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x=t^3-1\ \ \ \Rightarrow \ \ \ dx=3t^2dt\)
\(\int_{}^{} \frac{x-1}{ \sqrt[3]{x+1} } dx= \int_{}^{} ( \frac{t^3-2}{t} \cdot 3t^2)dt=3 \int_{}^{}(t^4-2t)dt= \frac{3}{5} t^5-3t^2+C=\\ = \frac{3}{5} (\sqrt[3]{x+1})^5-3( \sqrt[3]{x+1} )^2+C=3 (\sqrt[3]{x+1})^2( \frac{1}{5}x+ \frac{1}{5} -1)+C=\\= \frac{3}{5} \sqrt[3]{(x+1)^2}(x-4)+C\)
-
radagast
- Guru
- Posty: 17550
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
całki
1. Mi wychodzi tak, ale też lepiej to sprawdzić (np.metodą Joli)
\(\int_{}^{} \frac{4 \cdot \sqrt[4]{5 \cdot x^3} }{6 \cdot \sqrt[3]{x} } \cdot dx=\int_{}^{} \frac{2 \sqrt[4]{5} \cdot \sqrt[12]{x^9} }{3 \cdot \sqrt[12]{x^4} } \cdot dx= \frac{2 \sqrt[4]{5} }{3} \int_{}^{} \sqrt[12]{ \frac{ x^9}{x^4}} dx= \frac{2 \sqrt[4]{5} }{3} \int_{}^{} \sqrt[12]{ x^5} dx= \frac{2 \sqrt[4]{5} }{3} \int_{}^{} x^{ \frac{5}{12}} dx=
\frac{2 \sqrt[4]{5} }{3} \cdot \frac{12}{5} x^{ \frac{5}{12}+1} +C=\frac{8 \sqrt[4]{5} }{5} x^{ \frac{17}{12}} +C =\frac{8 \sqrt[4]{5} }{5} \sqrt[12]{ x^{17}}+C\)
To jest podobny wynik do tego , który podajesz tylko zamiast 17 w mianowniku jest 5
\(\int_{}^{} \frac{4 \cdot \sqrt[4]{5 \cdot x^3} }{6 \cdot \sqrt[3]{x} } \cdot dx=\int_{}^{} \frac{2 \sqrt[4]{5} \cdot \sqrt[12]{x^9} }{3 \cdot \sqrt[12]{x^4} } \cdot dx= \frac{2 \sqrt[4]{5} }{3} \int_{}^{} \sqrt[12]{ \frac{ x^9}{x^4}} dx= \frac{2 \sqrt[4]{5} }{3} \int_{}^{} \sqrt[12]{ x^5} dx= \frac{2 \sqrt[4]{5} }{3} \int_{}^{} x^{ \frac{5}{12}} dx=
\frac{2 \sqrt[4]{5} }{3} \cdot \frac{12}{5} x^{ \frac{5}{12}+1} +C=\frac{8 \sqrt[4]{5} }{5} x^{ \frac{17}{12}} +C =\frac{8 \sqrt[4]{5} }{5} \sqrt[12]{ x^{17}}+C\)
To jest podobny wynik do tego , który podajesz tylko zamiast 17 w mianowniku jest 5
-
Galen
- Guru
- Posty: 18457
- Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 9161 razy
1)
W drugim wierszu u Radagast brakuje odwrotności wykładnika potęgi...
Powinno być:
\(\frac{2}{3} \sqrt[4]{5} \int_{}^{} x^{ \frac{5}{12}}dx= \frac{2}{3} \sqrt[4]{5} \cdot \frac{12}{17}x^{ \frac{17}{12}}=\)
\(= \frac{2}{3} \cdot \frac{12}{17} \sqrt[4]{5} \cdot x^{ \frac{17}{12}}= \frac{8}{17} \cdot 5^{ \frac{3}{12}}x^{ \frac{17}{12}}=
= \frac{8}{17} \cdot \sqrt[12]{5^3 \cdot x^{17}}\)
Już wiesz skąd 125 ?
\(5^{ \frac{1}{4}}=5^{ \frac{3}{12}}= \sqrt[12]{5^3}= \sqrt[12]{125}\)
W drugim wierszu u Radagast brakuje odwrotności wykładnika potęgi...
Powinno być:
\(\frac{2}{3} \sqrt[4]{5} \int_{}^{} x^{ \frac{5}{12}}dx= \frac{2}{3} \sqrt[4]{5} \cdot \frac{12}{17}x^{ \frac{17}{12}}=\)
\(= \frac{2}{3} \cdot \frac{12}{17} \sqrt[4]{5} \cdot x^{ \frac{17}{12}}= \frac{8}{17} \cdot 5^{ \frac{3}{12}}x^{ \frac{17}{12}}=
= \frac{8}{17} \cdot \sqrt[12]{5^3 \cdot x^{17}}\)
Już wiesz skąd 125 ?
\(5^{ \frac{1}{4}}=5^{ \frac{3}{12}}= \sqrt[12]{5^3}= \sqrt[12]{125}\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.