Tożsamości z dw. Newtona

[alexx17]

Co prawda robiliśmy to na ćwiczeniach, ale nie rozkminiam do końca tego co napisałem. Proszę o rozpisanie, bez indukcji.

Zad.1.
Udowodnij, że:
\(1.\ \sum_{k=1}^{n} {n \choose k } \frac{a^k}{k}=\sum_{k=1}^{n} \frac{(a+1)^k -1}{k}\\2. \ \sum_{k=1}^{2n} {n \choose k } \frac{(-1)^{k+1}}{k} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}\\3. \ \sum_{k=1}^{n} {n \choose k} \frac{a^{k+1}}{k(k+1)}= \sum_{k=1}^{n} \frac{(a+1)^{k+1}-1}{k(k+1)} - a \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}\)

Zad.2.
Korzystając z wzoru dwumianowego Newtona, pokaż, że

\(\sum_{k=0}^{p} {n \choose k} {n-k \choose p-k }a^k b^{p-k}= {n \choose p} (a+b)^p, \ \ \ n \ge p \ge 0,\)

a stąd przez odpowiednie podstawienie
\(\sum_{k=0}^{p} {n \choose k} {n-k \choose p-k}=2^p {n \choose p}, \ \ \sum_{k=0}^{p} (-1)^k {n \choose k} {n-k \choose p-k}=0, \ n \ge p \ge 0\)

[Murarz]

Zad.2
\({n \choose k}{n-k \choose p-k}=\frac{n!}{(n-k)!k!}\cdot \frac{(n-k)!}{(n-k-p+k)!(p-k)!}=\frac{n!}{k!(n-p)!(p-k)!}=\frac{n!\cdot p!}{k!(n-p)!(p-k)!\cdot p!}={n\choose p}{p\choose k}\)
\(\sum_{k=0}^{p} {n \choose k}{n-k \choose p-k}a^k b^{p-k}=\sum_{k=0}^{p} {n \choose p}{p\choose k}a^k b^{p-k}\)
\(\sum_{k=0}^{p}{p\choose k}a^k b^{p-k}=(a+b)^p\)
\(\sum_{k=0}^{p} {n \choose k}{n-k \choose p-k}a^k b^{p-k}= {n \choose p}(a+b)^p\)
Ja sobie zrobiłem po swojemu

[alexx17]

My stosujemy głębszą rozkminę. Wszystko na symbolach sumy. Wyłączanie/włączanie itp. Do jednego przykładu rozpisanie tego zajmuje prawie stronę i jest kłopot. "Raz saper się myli. A jak się pomylisz, to popiół zostaje po Tobie i nic więcej". Ale dziękówa za odpowiedź. Chyba nie lubicie (forumowicze) takich rzeczy

[Murarz]

Zaczynam powoli dostrzegać różnicę między waszym programem a moim