Szeregi - sprawdzenie, czy są zbieżne

[saszaw90]

a) \(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^{n}}{ \sqrt{2n+1} }\)

Pewnie tu trzeba zastosować kryterium porównawcze, niestety mam z tym problem. Może ktoś będzie umiał świetnie to wytłumaczyć, to prosiłbym o napisanie, jak najłatwiej wyznaczyć większy ułamek od \(\frac{(-1)^{n}}{ \sqrt{2n+1}\) i mniejszy ułamek \(\frac{(-1)^{n}}{ \sqrt{2n+1}\)

b) \(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n!2n}{ n^{n} }\) a tu zastosować kryterium d'Alemberta?

[octahedron]

a) kryterium Leibniza

\(\frac{1}{ \sqrt{2n+1} }>\frac{1}{ \sqrt{2(n+1)+1} }
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{ \sqrt{2n+1} }=\frac{1}{\infty}=0\)

[saszaw90]

a) kryterium Leibniza

\(\frac{1}{ \sqrt{2n+1} }>\frac{1}{ \sqrt{2(n+1)+1} }
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{ \sqrt{2n+1} }=\frac{1}{\infty}=0\)

Czyli szereg jest zbieżny, skoro \(\lim_{n\to\infty}\frac{1}{ \sqrt{2n+1}\) jest zbieżny, to \(\lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^{n}}{ \sqrt{2n+1} }\) też jest zbieżny. Dobrze?

Mam pytanie, dlaczego jest \(1\) w liczniku? Na jakiej podstawie to napisałeś? Czemu nie np. \(-1\)? Czy nie przypadkiem chodzi o to, że pod szeregiem jest napisane \(n=1\) to \((-1)^{n}\) = \((-1)^{1}\)? Czy tak się nie robi?

[octahedron]

Chodzi o to, że szereg naprzemienny jest zbieżny, gdy ciąg modułów jego wyrazów jest malejący i zbieżny do zera. Dlatego w liczniku jest \(1\), bo biorę wartość bezwzględną.

[octahedron]

b)
\(\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{(n+1)!2(n+1)}{ (n+1)^{n+1} }}{\frac{n!2n}{ n^{n} }}=\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)!2(n+1)}{ (n+1)^{n+1} }\cdot\frac{ n^{n} }{n!2n}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^{n-1} }{ (n+1)^{n-1} }=\lim_{n\to\infty}\(1-\frac{1}{ n+1}\)^{n-1}=\frac{1}{e}<1\)

[saszaw90]

Chodzi o to, że szereg naprzemienny jest zbieżny, gdy ciąg modułów jego wyrazów jest malejący i zbieżny do zera. Dlatego w liczniku jest \(1\), bo biorę wartość bezwzględną.

Rozumiem, jeśli \((-1)^{n}\)lub\((-1)^{n+1}\) będzie w przykładzie szeregu to wiadomo będzie, że szereg jest zbieżny, bo występuje szereg naprzemienny, tak?

Skoro będzie \((-1)^{n}\)to zawsze wpisujemy \(1\)?

Szereg naprzemienny to tylko \((-1)\), a czy nie ma innej liczby, np. \((-2)\)?

Jeśli jest szereg naprzemienny w szeregu, to najprościej korzystać z kryterium Leibniza? Czy jest także inne kryterium, by rozwiązać szereg, w którym jest szereg naprzemienny?

Bardzo dziękuje za przykład 2. Jak widzę, to kryterium d'Alemberta. Mam pytanie, gdyby wynik wynosił \(e\) to będzie \(e>1?\) Czy \(e\) jest większe od \(1\)?

[octahedron]

\(e \simeq 2,718\)

Naprzemienny to znaczy, że wyrazy są na przemian dodatnie i ujemne. Ale to nie wystarczy do zbieżności, podałem wszystkie warunki, jakie muszą być spełnione. Inna liczba jak najbardziej może być, np. \((-13)^n\).