Obliczyć granicę

[grzesiek1992]

\(\lim_{x\to 0}( \frac{2x}{tg5x})\)

[Galen]

Oblicz pochodne licznika i mianownika,a następnie zastosuj regułę De l'Hospitala,bo masz tu symbol
nieoznaczony \(\frac{0}{0}\)
\((2x)'=2\\
(tg5x)'=5\cdot \frac{1}{cos^25x}=\frac{5}{cos^25x}\)
\(\lim_{x\to 0} \frac{2x}{tg5x}=(H)= \lim_{x\to 0} \frac{2}{ \frac{5}{cos^25x} } = \frac{2}{ \frac{5}{1} }= \frac{2}{5}\)

[Murarz]

\(\lim_{x\to 0}\frac{2x}{tg5x}= 2\lim_{x\to 0}\frac{x}{tg5x}=2\lim_{x\to 0}\frac{(x)'}{(tg5x)'}=\\
\\=2 \lim_{x\to 0} (\frac{1}{5\cdot \frac{1}{cos^25x}})=2 \lim_{x\to 0}\frac{cos^25x}{5}=2\cdot \frac{1}{5}=\frac{2}{5}\)

[radagast]

A jeślibyś nie chciał z armaty strzelac do wróbli to:
\(\lim_{x\to 0}( \frac{2x}{tg5x}) = \lim_{x\to 0}( \frac{2xcos5x}{sin5x}) = \frac{2}{5}\lim_{x\to 0}( \frac{5xcos5x}{sin5x}) =\frac{2}{5}\lim_{x\to 0}( \frac{5x}{sin5x}) \cdot\lim_{x\to 0} cos5x = \frac{2}{5} \cdot 1 \cdot 1= \frac{2}{5}\)

[studencik]

Hmm ale jakby nie patrzeć, to\(\lim_{x\to 0 } \frac{5x}{sin5x} =1\) też wynika z reguły de L'Hospitala, nie ?

[radagast]

No nie ! Raczej odwrotnie. W dowodzie reguły de l' Hospitala (który jest mocno nie trywialny) wykorzystuje sie fakt ze \(\frac{sinx}{x} \to 1\)