Pochodne

[alicja403]

Kolejne pochodne do sprawdzenia (przepraszam, że tak męczę Was, ale nie mam do tych zadań odpowiedzi, a chcę miec pewnośc, że dobrze rozwiązuje te przykłady):
a)\(y= \frac{2^{x^2}}{x^2}\)
moja odp. \(y'=2^{x^2}(2x \cdot x^{-2} - 2x^{-3})\)

b) \(y=x^3 3^{2x+5}\)
moja odp. \(y'=3^{3x+5}(3x^2+2x^3)\)

c)\(y=ln(x+ \sqrt{1+x^2})\)
moja odp. \(y'= \frac{1}{x+ \sqrt{1+x^2} } ( \sqrt{1+x^2}+ \frac{x}{2 \sqrt{1+x^2} })\)

d)\(y= \sqrt[3]{sin(3x-1)}\)
tutaj zaczęłam od \(\frac{1}{3} [sin(3x-1)]^{ -\frac{2}{3} } \cdot [sin(3x-1)]'\) i za bardzo nie wiem co dalej

e)\(y=lnx+ln^2x+ln^3x\) tutaj też proszę o małą podpowiedź od czego zacząc, żeby najprościej wyliczyc tą pochodną.

[MrVonzky]

e) pochodna sumy jest sumą pochodnych.. skorzystaj z tego, że pochodna lnx to 1/x z tego co pamiętem

[domino21]

a.
\(y'=\frac{(2^{x^2})' \cdot x^2 -2^{x^2} \cdot (x^2)'}{x^4}=\frac{2^{x^2} \cdot \ln 2 \cdot 2x \cdot x^2 -2^{x^2} \cdot 2x}{x^4}=\frac{2x \cdot 2^{x^2}(x^2 \ln 2 -1)}{x^4}=\frac{2^{x^2+1}(x^2 \ln 2 -1)}{x^3}\)

[domino21]

b.
\(y'=(x^3)' \cdot 3^{2x+5} +x^3 \cdot (3^{2x+5})'=3x^2 \cdot 3^{2x+5}+x^3 \cdot 3^{2x+5} \cdot \ln 3 \cdot 2=3^{2x+5}\cdot x^2 (3 +2x\ln 3)\)

[domino21]

c.
\(y'=\frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}\cdot(1+\frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}})=\frac{1}{x+\sqrt{1+x^2}}\cdot \frac{\sqrt{1+x^2}+x}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\)

[domino21]

d.
\(y'=\frac{1}{3} \sin ^{-\frac{2}{3}} (3x-1) \cdot \cos (3x-1) \cdot 3 =\frac{\cos (3x-1)}{\sqrt[3]{\sin^2 (3x-1)}}\)

[domino21]

e.
\(y'=\frac{1}{x} +2\ln x \cdot \frac{1}{x} + 3\ln ^2 x \cdot \frac{1}{x} =\frac{1}{x} (1+2\ln x +3\ln ^2 x)\)

[alicja403]

skąd się wziął w przykładzie a) i b) ten logarytm ??
ja zrobiłam przykład a) w ten sposób, że wyłączyłam z licznika \(2^{x^2}\), ale wyszło mi zupełnie inaczej ;/
w przykładzie c) nie mogę dojsc skąd się wzięło wyrażenie \(1+ \frac{2x}{2 \sqrt{1+x^2} }\)
i jeszcze do ostatniego przykładu pytanie, czy pochodna z \(ln^n x = n ln^{n-1} x \frac{1}{x}\) ?