Pochodne

[alicja403]

Obliczyłam pochodną z funkcji

\(y=arctg \frac{1+x}{1-x}\)
i wyszło mi \(\frac{1}{1+x^2}\)
Proszę o sprawdzenie.
I jeszcze proszę o pomoc z pochodną funkcji
\(y= \frac{x+ \sqrt{x} }{ \sqrt[3]{x^2} }\),
bo wyszło mi skomplikowane wyrażenie i nie moge sobie z nim poradzic: zaczęłam od \(y'= \frac{(x+ \sqrt{x})' \sqrt[3]{x^2}-(x+ \sqrt{x})( \sqrt[3]{x^{ \frac{2}{3} }} )' }{( \sqrt[3]{x^2} )}\)

[irena]

\(y=\frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x^2}}=\frac{x+x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{2}{3}}}=x^{\frac{1}{3}}+x^{-\frac{1}{6}}\)

\(y'=\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}-\frac{1}{6}x^{-\frac{7}{6}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}-\frac{1}{6x\sqrt[6]{x}}\)
I tak bym to zostawiła

[irena]

Albo;
\(\frac{1}{3x^{\frac{2}{3}}}-\frac{1}{6x^{\frac{7}{6}}}=\frac{2\sqrt{x}-1}{6x\sqrt[6]{x}}\)

[irena]

W pierwszym - mi wyszło tak samo

[Galen]

Najpierw pochodna funkcji wewnętrznej:
\((\frac{1+x}{1-x})'=\frac{1(1-x)-(-1)(1+x)}{(1-x)^2}=\frac{2}{(x-1)^2}\)
Pochodna funkcji złożonej:
\(y'= \frac{2}{(x-1)^2} \cdot \frac{1}{1+( \frac{1+x}{1-x})^2 }= \frac{2}{(1-x)^2+(1+x)^2}= \frac{2}{2+2x^2}= \frac{1}{1+x^2}\)

Mam taki sam wynik.

[alicja403]

Albo;
\(\frac{1}{3x^{\frac{2}{3}}}-\frac{1}{6x^{\frac{7}{6}}}=\frac{2\sqrt{x}-1}{6x\sqrt[6]{x}}\)

Próbuję sobie przekształcic, żeby otrzymac tą postac, ale po sprowadzeniu do wspólnego mianownika i wyłączeniu z licznika 3 (żeby skrócic z mianownikiem, gdzie mamy 18), wyszło mi coś takiego:
\(\frac{2x \sqrt[6]{x}- \sqrt[3]{x^2} }{6 \sqrt[6]{x^{11}} }\)