Równanie różniczkowe

[jjjjjj]

\(x'=(8t+2x+1)^2\)

[nijak]

\[ \frac{dx(t)}{dt} =(8t+2x(t)+1)^2,\]
niech \(v(t)=8t+2x(t)\), co daje nam \( \frac{dv(t)}{dt}=2 \frac{dx(t)}{dt}+8 . \)
\[ \frac{1}{2} \biggl( \frac{dv(t)}{dt}-8 \biggr) =(v(t)+1)^2\]
\[ \frac{dv(t)}{dt}=2(v(t)^2+2v(t)+5) |:(v(t)^2+2v(t)+5)\]
\[\int \frac{ \frac{dv(t)}{dt}}{(v(t)^2+2v(t)+5)} =\int 2 dt\]
bierzemy najpierw pierwszą całkę:
\[\int \frac{ 1}{(v^2+2v+5)} dv=\int \frac{ 1}{((v+1)^2+4)} dv\]
podstawmy: \(u=v+1\) i \(du=dv,\)
\[\int \frac{1}{u^2+4}=\int \frac{1}{4( \frac{u^2}{4} +1)} = \frac{1}{4} \int \frac{1}{ \frac{u^2}{4}+1 } \]
jeszcze raz podstawny: \(s= \frac{u}{2} \) i za \(ds= \frac{1}{2} du,\)
\[= \frac{1}{2}\int \frac{1}{s^2+1}ds \]
całka z wyrażenia: (\(\frac{1}{s^2+1}\) ) to \(\tan^{-1}(s)+C\). Więc po podstawieniu za \(s= \frac{u}{2} \) a następnie \(u=v+1\) otrzymujemy:
\[= \frac{1}{2}\tan^{-1}\biggl( \frac{v+1}{2} \biggr)+C =2t+C_1=\]
\[=\frac{1}{2}\tan^{-1}\biggl( \frac{1}{2} v(t)+1 \biggr)=2t+C_1\]
\[v(t)=2\tan(2(2t+C_1))-1\]
wracając do podstawienia za \(v(t)\) możemy obliczyć \(x(t)\), które jest równe: \(x(t)= \frac{1}{2}(-8t+v(t)) \)

\[x(t)=-4t+\tan(2(2t+C_1))- \frac{1}{2} \]
bad-klick bardzo możliwy.

Pozdrawiam