Rozwiąż równanie różniczkowe
\(\frac{dy}{dx} =6 \cos (x-y) \)
Rozwiąż równanie różniczkowe
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
Re: Rozwiąż równanie różniczkowe
\( \int_{}^{} \frac{dt}{1-\cos t} = \int_{}^{} dx\)
czyli
\(\displaystyle x= \int \frac{dt}{1-\cos t} \)
no to policzmy tę całkę tak jak sugerował Kerajs:
\(\displaystyle \int \frac{dt}{1-\cos t} =\int \frac{dt}{1- \frac{1-tg^2 \frac{t}{2} }{1+tg^2 \frac{t}{2}} }= \begin{vmatrix} tg \frac{t}{2}=u\\t=2\arctg u \\ dt= \frac{2du }{1+u^2} \end{vmatrix} =\int \frac{\frac{2du }{1+u^2}}{1- \frac{1-u^2 }{1+u^2} }= \int \frac{2du}{1+u^2- 1+u^2 }= \int \frac{du}{u^2 }=...\)
dalej już łatwo
czyli
\(\displaystyle x= \int \frac{dt}{1-\cos t} \)
no to policzmy tę całkę tak jak sugerował Kerajs:
\(\displaystyle \int \frac{dt}{1-\cos t} =\int \frac{dt}{1- \frac{1-tg^2 \frac{t}{2} }{1+tg^2 \frac{t}{2}} }= \begin{vmatrix} tg \frac{t}{2}=u\\t=2\arctg u \\ dt= \frac{2du }{1+u^2} \end{vmatrix} =\int \frac{\frac{2du }{1+u^2}}{1- \frac{1-u^2 }{1+u^2} }= \int \frac{2du}{1+u^2- 1+u^2 }= \int \frac{du}{u^2 }=...\)
dalej już łatwo
-
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
Re: Rozwiąż równanie różniczkowe
właściwie tak ale zapisałabym to raczej : \(x=- \frac{1}{ \tg \frac{x-y}{2} } =\ctg \frac{y-x}{2} \)
czyli \(y= x+2\arcctg x \)
czyli \(y= x+2\arcctg x \)
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: Rozwiąż równanie różniczkowe
Sugerowałem coś takiego:radagast pisze: ↑14 maja 2022, 16:06 no to policzmy tę całkę tak jak sugerował Kerajs:
\(\displaystyle \int \frac{dt}{1-\cos t} =\int \frac{dt}{1- \frac{1-tg^2 \frac{t}{2} }{1+tg^2 \frac{t}{2}} }= \begin{vmatrix} tg \frac{t}{2}=u\\t=2\arctg u \\ dt= \frac{2du }{1+u^2} \end{vmatrix} =\int \frac{\frac{2du }{1+u^2}}{1- \frac{1-u^2 }{1+u^2} }= \int \frac{2du}{1+u^2- 1+u^2 }= \int \frac{du}{u^2 }=...\)
\( \int \frac{dt}{1-\cos t} = \int \frac{dt}{1-(1-2\sin^2 \frac{t}{2}) } =\int \frac{ \frac{dt}{2} }{\sin^2 \frac{t}{2} } =-\ctg \frac{t}{2}+C \)
Co do równania różniczkowego, to w rozwiązaniu brakuje stałej.