uzasadnienie

[cheruille]

Jeśli \(f'(x)=g'(x)\) w przedziale otwartym \(I\), to istnieje takie \(c \in \rr \), że \(g(x)=cf(x)\) w \(I\).
Jest to fałsz, ale jak to uzasadnić?

[Jerry]

Rozpatrzmy
\(y=f(x)=x^2+1\\ y=g(x)=x^2\)
Ich pochodne są odpowiednio równe, ale dla \(x\ne0\)
\({f(x)\over g(x)}=1+{1\over x^2}\ne const\So\sim\exists_{c\in\rr}\ f(x)=c\cdot g(x)\)

Pozdrawiam

[edited] splątałem literki... zamień \(f\) z \(g\) miejscami

[cheruille]

Rozpatrzmy
\(y=f(x)=x^2+1\\ y=g(x)=x^2\)
Ich pochodne są odpowiednio równe, ale dla \(x\ne0\)
\({f(x)\over g(x)}=1+{1\over x^2}\ne const\So\sim\exists_{c\in\rr}\ f(x)=c\cdot g(x)\)

Pozdrawiam

[edited] splątałem literki... zamień \(f\) z \(g\) miejscami

chyba jednak nie rozumiem, skąd wnioskujemy że to fałsz. Po ilorazie wychodzi nam \(1+ \frac{1}{x^2} \), ale jakie dalej jest rozumowanie?

[Jerry]

\({f(x)\over g(x)}=1+{1\over x^2}\ldots\)
[...] zamień \(f\) z \(g\) miejscami

\({g(x)\over f(x)}=1+{1\over x^2}\iff g(x)=\left(1+{1\over x^2}\right)\cdot f(x) \)
Ponieważ miało być
\(g(x)=cf(x)\)
to
\(c=1+{1\over x^2}\)
czyli dla każdego argumentu inny, a miał być jeden dla wszystkich!

Pozdrawiam