uzasadnienie

[cheruille]

Potrzebuje pomocy do zaliczenia ustnego z matematyki.....czy ktoś byłby w stanie wytłumaczyć czemu zdanie " iloczyn ciągu zbieżnego i ciągu rozbieżnego jest rozbieżny" jest fałszywe?

[Jerry]

Wskażmy konkretne ciągi: zbieżny, rozbieżny i ich iloczyn..
Niech \(a_n={1\over n}, \ b_n=n\). Wtedy \(c_n=a_n\cdot b_n=1\) jest zbieżny

Pozdrawiam
PS. Dla mnie ciąg rozbieżny, to taki który ma granicę niewłaściwą... przy innym podejściu do problemu rozbieżności potrzebne inne przykłady: \(a_n={1\over n^7},\ b_n=(-1)^n\cdot n\)

[cheruille]

Wskażmy konkretne ciągi: zbieżny, rozbieżny i ich iloczyn..
Niech \(a_n={1\over n}, \ b_n=n\). Wtedy \(c_n=a_n\cdot b_n=1\) jest zbieżny

Pozdrawiam
PS. Dla mnie ciąg rozbieżny, to taki który ma granicę niewłaściwą... przy innym podejściu do problemu rozbieżności potrzebne inne przykłady: \(a_n={1\over n^7},\ b_n=(-1)^n\cdot n\)

a skąd wiemy, że akurat \(an= \frac{1}{n} \) jest zbieżny, a \(bn=n\) jest rozbieżny?

[eresh]

a skąd wiemy, że akurat \(an= \frac{1}{n} \) jest zbieżny, a \(bn=n\) jest rozbieżny?

bo
\(\Lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}=0\\
\Lim_{n\to\infty}n=+\infty\)

[Jerry]

a skąd wiemy, że akurat \(a_n= \frac{1}{n} \) jest zbieżny, a \(bn=n\) jest rozbieżny?

\(\Limn a_n=0\\ \Limn b_n=+\infty\)

Pozdrawiam

[cheruille]

dziękuję bardzo!!!

[Jerry]

W innym kontekście

... inne przykłady: \(a_n={1\over n^7},\ b_n=(-1)^n\cdot n\)

\(\Limn a_n=0\\ \Limn b_n=\text{ nie istnieje}\\
\Limn a_n\cdot b_n=\Limn {(-1)^n\over x^6}=0\)

Pozdrawiam