Równania różniczkowe

[krniasty]

1. Następujący układ równań różniczkowych \(\begin{cases}x'_1 = 2x_1 + 3x_2\\ x'_2 = 5x_1 + 8x_2 \end{cases}\) można zapisać w postaci macierzowej x' = Ax gdzie x = \(\begin{bmatrix}x_1\\ x_2 \end{bmatrix} \)

oraz A jest macierzą jakiej postaci?

2. Można przewidzieć, że rozwiązaniem szczególnym równania różniczkowego \( y' + y = 3e ^{7x} \) będzie funkcja w jakiej postaci?

3. Rozwiązaniem równania różniczkowego \( \frac{dy}{dx} = 2 y \) z warunkiem początkowym y(0) = 12 jest?

4. Rozwiązaniem równania różniczkowego \( -x''' + 2x'' + x' - 2x = 0 jest?

5. Które z podanych równań jest równaniem różniczkowym zupełnym?

a) \( (x - 4y) + (y - 3x)y' = 0 \)
b) \( (x - 4y) + (y - 5x)y' = 0 \)
c) \( (5x - y) + (y - 6x)y' = 0 \)

6. Następujące równanie \( y' = -8 \frac{y}{x} \) jest:
a. równaniem różniczkowym liniowym niejednorodnym
b. równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym
c. równaniem różniczkowym zupełnym
d. żadnym z wyżej wymienionych\)

[panb]

1. Następujący układ równań różniczkowych \(\begin{cases}x'_1 = 2x_1 + 3x_2\\ x'_2 = 5x_1 + 8x_2 \end{cases}\) można zapisać w postaci macierzowej x' = Ax gdzie x = \(\begin{bmatrix}x_1\\ x_2 \end{bmatrix} \)

oraz A jest macierzą jakiej postaci?

Takiej:
\[A= \begin{bmatrix}2&3\\5&8 \end{bmatrix} \]

[panb]

5. Które z podanych równań jest równaniem różniczkowym zupełnym?

a) \( (x - 4y) + (y - 3x)y' = 0 \)
b) \( (x - 4y) + (y - 5x)y' = 0 \)
c) \( (5x - y) + (y - 6x)y' = 0 \)

Żadne.

[britva]

2) \(y'+y=3\,e^{7\,x}\;\rightarrow\;y=\dfrac{3\,e^{7\,x}}{8}+\dfrac{C}{e^{x}}\)
3) \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=2\,y\)
4) \(-x'''+2\,x''+x'-2\,x=0\;\rightarrow\;x=C\,e^{2\,t}+C_{1}\,e^{t}+\dfrac{C_{2}}{e^{t}}\)