udowodnij

[_m_s_a100]

1.Udowodnij, że \(19|(11x+2y)\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(19|(18x+5y)\)

2.Udowodnij, że \(240|(a^8 - a^4)\) dla \(a\) należącego do zbioru liczb całkowitych.

[Jerry]

Ponieważ
\(n=a^8 - a^4=(a-1)a(a+1)a^3(a^2+1)\)
oraz
\(240=2^4\cdot3\cdot5\)
to wystarczy wykazać:
-) \(2^4\mid n\\
\quad\circ\ 2\mid a\So2^4\mid a^4\So2^4|n\\
\quad\circ\ 2\nmid a\So (\color{green}{8\mid (a^2-1)\wedge 2\mid (a^2+1)})\So 2^4\mid n\)
-) \(3\mid n\\ \quad 6\mid (a-1)a(a+1)\So 3\mid n\)
-) \(5\mid n\\ \quad\circ\ (5\mid (a-1\vee 5\mid a\vee 5\mid(a+1))\So 5\mid n\\
\quad\circ\ (5\nmid (a-1)\wedge 5\nmid a\wedge 5\nmid(a+1))\So 5\mid(a^2+1)\So 5\mid n\)

Uzasadnienie ostatniego wiersza: np.
\(a=5k+3\wedge k\in\zz\So a^2+1=25k^2+30k+9+1=5(5k^2+6k+2)\wedge (5k^2+6k+2)\in\zz\)
Pozdrawiam

[edited] poprawka
Uzasadnienie:
\(a=2k+1\wedge k\in\zz\So a^2-1=4k^2+4k+1-1=4k(k+1)\wedge 2\mid k(k+1)\)

[Icanseepeace]

1.Udowodnij, że \(19|(11x+2y)\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(19|(18x+5y)\)

\( (\So) \)
Skoro \( 19| (11x + 2y) \) to znajdę takie całkowite \( k \) aby zachodziła równość \( 19k = 11x + 2y \)
Mnożąc przez \(5\) następnie odejmując od obu stron \(19x\) i wyciągając po prawej stronie \(2\) przed nawias dostaje:
\( 19(5k - x) = 2(18x + 5y) \)
Lewa strona jest podziela przez \(19\), więc prawa również musi być podzielna przez 19.
Ponieważ \(2\) nie jest podzielne przez 19 to otrzymujemy \( 19|18x + 5y \).
Wynika w drugą stronę robi się bardzo analogicznie i zostawiam je jako ćwiczenia dla zainteresowanego.

[_m_s_a100]

Lewa strona jest podziela przez \(19\), więc prawa również musi być podzielna przez 19.
Ponieważ \(2\) nie jest podzielne przez 19 to otrzymujemy \( 19|18x + 5y \).

Czy mógłbyś jaśniej wytłumaczyć ten fragment?

[Icanseepeace]

Które wynikanie tak dokładniej?
Używam tylko bardzo podstawowych własności z teorii podzielności.

[_m_s_a100]

Używam tylko bardzo podstawowych własności z teorii podzielności.

Czyli taki zapis, że jeśli prawa strona jest podzielna przez 19, to prawa też musi być podzielna i jak 2 nie jest podzielne przez 19 to otrzymujemy 19|18x+5y już w zupełności wystarczy do rozwiązania i jest ok, tak?

[Icanseepeace]

Czyli taki zapis, że jeśli prawa strona jest podzielna przez 19, to prawa też musi być podzielna

Wiesz, że lewa strona jest podzielna przez \( 19 \) (z definicji) a to oznacza, że jeśli ma zachodzić równość to prawa strona również musi być podzielna przez 19.
Ponieważ \( (2,19) = 1 \) to musi być: \( 19 | 18x + 5y \)
Jest to dość podstawowa własność. Załączam link do teorii:
http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/m ... n1901.pdf
Rozdział 1 - twierdzenie 5 (oczywiście aby zrozumieć zapis matematyczny trzeba się trochę cofnąć)

[Icanseepeace]

Używam tylko bardzo podstawowych własności z teorii podzielności.

Czyli taki zapis, że jeśli prawa strona jest podzielna przez 19, to prawa też musi być podzielna i jak 2 nie jest podzielne przez 19 to otrzymujemy 19|18x+5y już w zupełności wystarczy do rozwiązania i jest ok, tak?

Nie zapomnij pokazać wynikania w drugą stronę.
Masz pokazać równoważność \( ( \iff) \) a jak na razie ja tylko pokazałem wynikanie \( (\So) \)