Równania różniczkowe

[krniasty]

1. Rozwiązać równanie niejednorodne metodą przewidywania

\(\frac{dy}{dx} + 2y = - 2e^{6x}\)

2. Sprawdzić, czy równanie

\(x^2 + y - x \frac{dy}{dx} = 0\)

jest różniczką zupełną. Jeżeli nie, znaleźć czynnik całkujący i rozwiązać zmodyfikowane równanie.

3. Rozwiązać równanie liniowe jednorodne

\(x\frac{dy}{dx} - 2y = 0\)

b) Metodą uzmienniania stałej rozwiązać równanie niejednorodne

\(x\frac{dy}{dx} - 2y = x^3cosx\)

[panb]

2. Sprawdzić, czy równanie
\(x^2 + y - x \frac{dy}{dx} = 0\)
jest różniczką zupełną. Jeżeli nie, znaleźć czynnik całkujący i rozwiązać zmodyfikowane równanie.

Zapisujemy równanie \(x^2 + y - x \frac{dy}{dx} = 0\) równoważnej postaci \((x^2+y)dx-xdy=0\).
Wtedy \(P(x)=x^2+y,\,\,\, Q(x)=-x\) i mamy \( \frac{ \partial P}{ \partial y} = \frac{ \partial }{ \partial y} (x^2+y)=1\neq \frac{ \partial Q}{ \partial x}= \frac{ \partial }{ \partial x} (-x)=-1\), więc równanie \(x^2 + y - x \frac{dy}{dx} = 0\) nie jest różniczką zupełną.
Ponieważ \(\displaystyle{ \frac{\frac{ \partial P}{ \partial y}-\frac{ \partial Q}{ \partial x}}{Q}= \frac{1+1}{-x}=- \frac{2}{x}=\psi(x) }\) jest zależne tylko od zmiennej x, więc istnieje czynnik całkujący \(\mu(x)=e^{\int \psi(x)\,{dx}}.\quad \int \psi(x)\,{dx}=-2\int \frac{dx}{x} = -2\ln x+c=\ln cx^{-2}\). W takim razie czynnik całkujący ma postać
\[\mu(x)=e^{\ln cx^{-2}}= \frac{c}{x^2} \]

[panb]

Zmodyfikowane równanie wygląda teraz tak:
\[ \frac{c}{x^2}(x^2+y)dx- \frac{c}{x^2}\cdot x \,{dy}=0 \iff \left(c+ \frac{y}{x^2} \right)dx- \frac{c}{x}dy=0 \] i mamy \[ \frac{ \partial P}{ \partial y }= \frac{ \partial }{ \partial y} \left(c+ \frac{y}{x^2} \right)= \frac{1}{x^2}= \frac{ \partial }{ \partial x} \left(- \frac{1}{x} \right) = \frac{ \partial Q}{ \partial x} \] więc jest to różniczka zupełna i można ją rozwiązać metodami stosowanymi do równań różniczkowych zupełnych.

[panb]

Zmodyfikowane równanie wygląda teraz tak:
\[ \frac{c}{x^2}(x^2+y)dx- \frac{c}{x^2}\cdot x \,{dy}=0 \iff \left(c+ \frac{y}{x^2} \right)dx- \frac{c}{x}dy=0 \] i mamy \[ \frac{ \partial P}{ \partial y }= \frac{ \partial }{ \partial y} \left(c+ \frac{y}{x^2} \right)= \frac{1}{x^2}= \frac{ \partial }{ \partial x} \left(- \frac{1}{x} \right) = \frac{ \partial Q}{ \partial x} \] więc jest to różniczka zupełna i można ją rozwiązać metodami stosowanymi do równań różniczkowych zupełnych.

Niech \(U(x,y)=C\) będzie funkcja uwikłaną będąca rozwiązaniem równania różniczkowego zupełnego.
Wtedy \(\displaystyle{ \frac{ \partial U}{ \partial x} =c+ \frac{y}{x^2} \So U(x,y)=\int \left( c+ \frac{y}{x^2}\right)\,{dx}=cx- \frac{y}{x}+ \varphi(y) \\ \frac{ \partial U}{ \partial y}=- \frac{c}{x} = \frac{d}{dy} \left(cx- \frac{y}{x}+ \varphi(y) \right) \iff -\frac{c}{x}=- \frac{1}{x}+\varphi'(y) \So \varphi'(y)= \frac{1-c}{x}\So \varphi(y)= \left(\frac{1}{x} - \frac{c}{x} \right)y +C
}\)

Wobec tego \(U(x,y)=cx- \frac{y}{x}+\varphi(y)=cx- \frac{y}{x}+ \frac{y}{x}- \frac{cy}{x}+C\), a szukana funkcja
\[U(x,y)=cx- \frac{cy}{x}=C \iff x- \frac{y}{x}=b \iff y=x^2-bx \]

Odpowiedź: Rozwiązaniem zmodyfikowanego równania różniczkowego zupełnego jest funkcja \(y=x^2-bx,\,\,\, b\in\rr\)

[panb]

1. Rozwiązać równanie niejednorodne metodą przewidywania
\(\frac{dy}{dx} + 2y = - 2e^{6x}\)

Zaczynamy od jednorodnego (będzie wzorem do zadania 3).

• \(\displaystyle \frac{dy}{dx} + 2y =0 \iff \frac{dy}{y}=-2dx \So\int \frac{dy}{y}= \So \ln y=-2x \So y_0=Ce^{-2x}\).

Przewidujemy, że rozwiązanie ogólne będzie postaci \(y=y_0+y_s\), gdzie \(y_s=Ae^{6x}\) spełnia równanie:
\(y'_s+2y_s=-2e^{6x} \iff 6Ae^{6x}+2Ae^{6x}=-2e^{6x} \iff 8A=-2 \iff A=- \frac{1}{4} \). Czyli \(y_s=- \frac{1}{4}e^{6x},\), a

Odpowiedź: \(y=Ce^{-2x}-\frac{1}{4}e^{6x}\)