Równanie różniczkowe

[LuckyLuck]

Rozwiązać zagadnienie początkowe \(y"-y'+2y=-t^2 +2t,\) \(y(0)=0, y'(0)=1 \)

[panb]

Rozwiązać zagadnienie początkowe \(y"-y'+2y=-t^2 +2t,\) \(y(0)=0, y'(0)=1 \)

\(
a^2-a+2=0 \So \Delta=1-8=-7 \So a= \frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt7}{2}i \)
Rozwiązanie równania jednorodnego ma postać:
\[y_0=Ae^{ \frac{t}{2} }\sin \frac{\sqrt7}{2}t+Be^{ \frac{t}{2} }\cos \frac{\sqrt7}{2}t\]

Przewidujemy rozwiązanie szczególne w postaci \(y_s=at^2+bt+c\)
\(y_s''-y_s'+2y_s=-t^2+2t \iff 2a-(2at+b)+2(at^2+bt+c)=-t^2+2t\\
(2a+1)t^2+2(b-a-1)t+(2a-b+2c)=0 \So \begin{cases}2a+1=0\\b-a-1=0\\2a-b+2c=0 \end{cases}\iff a=- \frac{1}{2},\,\, b= \frac{1}{2},\,\, c= \frac{3}{4} \), więc
\[y=Ae^{ \frac{t}{2} }\sin \frac{\sqrt7}{2}t+Be^{ \frac{t}{2} }\cos \frac{\sqrt7}{2}t - \frac{t^2}{2}+ \frac{t}{2} + \frac{3}{4} \]

Policzysz samodzielnie A i B?

[LuckyLuck]

Tak, dzięki za pomoc