Równania

[EatonFS]

Rozwiąż równanie \(y'+y+y^3 =0,\) \(y(0)=-1\)

[radagast]

Rozwiąż równanie \(y'+y+y^3 =0,\) \(y(0)=-1\)

Tu sią pięknie rozdzielają zmienne i nie ma problemu (poza rachunkowym)

\(y'+y+y^3 =0\)
\( \frac{dy}{dx} =-y(1+y^2)\)
\( \displaystyle \int \frac{dy}{y(1+y^2)} =-\int dx\)
tymczasem
\( \displaystyle \int \frac{dy}{y(1+y^2)} =\int \frac{1}{y} - \frac{y}{y^2+1} dy =\ln |y| - \frac{1}{2} \ln |y^2+1|+C\)

\( \displaystyle -\int dx= -x+D\)

No to
\( \displaystyle \ln |y| - \frac{1}{2}\ln |y^2+1|=-x+E\)
\( \displaystyle \ln |y| -\ln \sqrt{y^2+1} =-x+E\)
\( \displaystyle \ln | \frac{y}{\sqrt{y^2+1}} | =-x+E\)
\( \displaystyle | \frac{y}{\sqrt{y^2+1}} | =Fe^{-x}\)
\( \displaystyle \frac{y^2}{y^2+1} =Ge^{-2x}\)
\( \displaystyle y^2 =Ge^{-2x}y^2+Ge^{-2x} \)
\( \displaystyle y^2 (1- Ge^{-2x}) =Ge^{-2x} \)
\( \displaystyle y^2 = \frac{Ge^{-2x}}{1- Ge^{-2x}} \)
\( \displaystyle y = \pm \sqrt{\frac{Ge^{-2x}}{1- Ge^{-2x}} } \)
\(y(0)= \pm \sqrt{\frac{G}{1- G} }=-1 \So G= \frac{1}{2} \)

\( \displaystyle y = \pm \sqrt{\frac{ \frac{1}{2} e^{-2x}}{1- \frac{1}{2}e^{-2x}} } \)

rachunki do sprawdzenia