Równanie różniczkowe

[EatonFS]

Rozwiązać równanie różniczkowe
\(y'+xy=x^3\)

[panb]

Rozwiązać równanie różniczkowe
\(y'+xy=x^3\)

Zrobię metodą uzmienniania stałej:
Najpierw równanie jednorodne: \(y'+xy=0 \iff \frac{dy}{y}=-x\,{dx} \So y=Ce^{-x^2/2}\)
Niech C=C(x), wtedy \(y'=(C(x)e^{-x^2/2})'=C'e^{-x^2/2}-Cxe^{-x^2/2}\).
Wstawiamy to do równania
\(y'+xy=x^3 \iff C'e^{-x^2/2}-Cxe^{-x^2/2}+x\cdot Ce^{-x^2/2}=x^3 \iff C'e^{-x^2/2}=x^3 \So C'=x^3e^{x^2/2}\)
W takim razie \(C=\int x^3e^{x^2/2}=(x^2-2)e^{x^2/2}+c\)
Wstawiamy do rozwiązania równania jednorodnego:
\[y=Ce^{-x^2/2} \iff y= \left[(x^2-2)e^{x^2/2}+c \right]e^{-x^2/2}=ce^{- \frac{x^2}{2} }+x^2-2 \]