Kula wpisana w stożek

[Fori7894]

Kula wpisana w stożek ma pole powierzchni trzy razy mniejsze od pola powierzchni całkowitej stożka. Oblicz cosinus kąta nachylenia tworzącej tego stożka do jego podstawy.

[Jerry]

Niech \(2\alpha\in\left(0;\ {\pi\over2}\right)\) będzie interesującym katem w stożku o promieniu podstawy \(R>0\), tworzącej \(l>0\). Promień kuli wpisanej niech będzie \(r>0\) (zrób schludny rysunek). Wtedy
1) \(R={r\over\tg\alpha}\)
2) \(l={R\over\cos2\alpha}={r(1+\tg^2\alpha)\over\tg\alpha(1-\tg^2\alpha)}\)
3) Z treści zadania: \(\pi R^2+\pi Rl=3\cdot 4\pi r^2\)

Wstaw wyznaczone wartości, podziel równanie stronami przez \(\pi r^2\), rozwiąż równanie (dwukwadratowe) zmiennej \(\tg\alpha=x\in(0; \ 1)\). Pamiętaj, w odpowiedzi, że \(\cos2\alpha={1-x^2\over 1+x^2}\)

Pozdrawiam

[Jerry]

Doliczyć?

Proszę:

3) ...
\({\pi r^2\over\tg^2\alpha}+{\pi r^2(1+\tg^2\alpha)\over\tg^2\alpha(1-\tg^2\alpha)}=12\pi r^2\qquad |:\pi r^2\)
\({1\over\tg^2\alpha}+{1+\tg^2\alpha\over\tg^2\alpha(1-\tg^2\alpha)}=12\)
\({1-\tg^2\alpha+1+\tg^2\alpha\over\tg^2\alpha(1-\tg^2\alpha)}=12\)
\({2\over\tg^2\alpha(1-\tg^2\alpha)}=12\)
Niech \(\tg^2\alpha=t\in(0;1)\), wtedy
\(6t(1-t)=1\)
\(6t^2-6t+1=0\)
\(\Delta=36-24=12\So\sqrt\Delta=2\sqrt3\)
\((t={3-\sqrt3\over6}\vee t={3+\sqrt3\over6})\wedge t\in(0;1)\So\)
\(\tg^2\alpha={3-\sqrt3\over6}\vee \tg^2\alpha={3+\sqrt3\over6}\)
\(\cos2\alpha={1-{3-\sqrt3\over6}\over 1+{3-\sqrt3\over6}}=\ldots\vee \cos2\alpha={1-{3-\sqrt3\over6}\over 1+{3-\sqrt3\over6}}=\ldots\)

Ale rachunki - sprawdź, liczyłem "bez kartki"

Pozdrawiam