Współrzędne sferyczne i cylindryczne

[mlodz31]

Hej!
Mam poniższe zadanie do rozwiązania ale kompletnie nie wiem jak sie za nie zabrać.

Rozważmy sferę \(S\) z równaniem \(x^2 + y^2 + z^2 = 1\) i okrąg \(C\), który składa się z przecięcia z płaszczyzną \(x + y + z = 0\).

(a) Wyraź równianie koła \(C\) za pomocą współrzędnych sferycznych.
(b) Wyraź równanie koła \(C\) za pomocą współrzędnych cylindrycznych.

Jedyne co wiem to to że \(R = 1\)

[kerajs]

Wstaw współrzędne wacowe/ sferyczne do układ:
\( \begin{cases} x^2 + y^2 + z^2 = 1 \\ x + y + z = 0\end{cases} \)

Uzyskany układ będzie opisem powyższego okręgu w nowych współrzędnych,

[janusz55]

Czy jest to okrąg ?

[panb]

Wygląda na to, że będzie (przekroje sfery płaszczyzną - leżącą nie za daleko od środka - to okręgi) i to o promieniu 1.

Współrzędne cylindryczne \( \begin{cases}x=r\cos t\\y=r\sin t\\z=z \end{cases} \) dają równanie części wspólnej w postaci:
\[ \begin{cases}x= \frac{\cos t}{\sqrt{2+\sin2t}} \\y= \frac{\sin t}{\sqrt{2+\sin2t}}\\z=- \frac{\sin t + \cos t}{\sqrt{2+\sin2t}} \end{cases} \]

Z równania nie widać, że to okrąg (ja nie widzę), ale z własności przekrojów wychodzi, że i owszem.

[janusz55]

\( \begin{cases} x^2 +y^2 + z^2 = 1 \\ x+ y + z = 0 \end{cases}\)

\( z = - x - y = -(x+y)\)

\( x^2 + y^2 +[-(x+y)]^2 = 1\)

\( x^2 + y^2 +x^2 + y^2 + 2x y = 1\)

\( 2x^2 + 2y^2 + 2xy = 1. \)

[kerajs]

\( \begin{cases} x^2 +y^2 + z^2 = 1 \\ x+ y + z = 0 \end{cases}\)

\( z = - x - y = -(x+y)\)

\( x^2 + y^2 +[-(x+y)]^2 = 1\)

\( x^2 + y^2 +x^2 + y^2 + 2x y = 1\)

\( 2x^2 + 2y^2 + 2xy = 1. \)

Uzyskany wynik nie jest równoważny z pierwotnym układem.
Nawet po poprawie zapis:
\( 2x^2 + 2y^2 + 2xy = 1 \ \ \wedge \ \ z=-x-y \)
jest trudniejszy niż wyjściowy układ równań (przynajmniej moim zdaniem).

[janusz55]

Nie bardzo rozumiem co masz na myśli mówiąc " wzór trudniejszy"?

Przypadek (gdy płaszczyzna nie przechodzi przez środek sfery)

Równanie sfery:

\( (x - x_{0})^2 + (y-y_{0})^2 + (z -z_{0})^2 = R^2\)

Równanie płaszczyzny \( \pi: Ax +By +Cz + D = 0 \)

Współrzędne wektora normalnego płaszczyzny

\( \vec{n} =[A, B, C] \)

Wybieramy na płaszczyźnie \( \pi \) dowolny punkt \( p_{0}= (p_{01}, p_{02}, p_{03}). \)

Odległość \( d \) tego punktu od środka \( s_{0} = ( x_{0}, y_{0}, z_{0}) \) sfery jest równa

\( d = \frac{(s_{0} - p_{0})\cdot \vec{n}}{\parallel \vec{n}\parallel} \)

\( d = \frac{|A\cdot (x_{0} - p_{01}) + B\cdot (y_{0}-p_{02})+ C\cdot (z_{0} - p_{03}) +D|}{\sqrt{A^2 +B^2 + C^2}}.\)

\( |d|< R \)

Długość promienia \( r \) okręgu

\( r = \sqrt{R^2 - d^2} \)

Współrzędne środka okręgu:

\( s = s_{0} + d \cdot \frac{\vec{n}}{\parallel \vec{n}\parallel} = (x_{0}, y_{0}, z_{0}) + d \cdot \frac{(A,B,C)}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.\)

[kerajs]

Nie bardzo rozumiem co masz na myśli mówiąc " wzór trudniejszy"?

Sądzę że forma:
\( \begin{cases} x^2 +y^2 + z^2 = 1 \\ x+ y + z = 0 \end{cases}\)
jest prostsza niż
\( \begin{cases} 2x^2 +2y^2 + 2xy = 1 \\ x+ y + z = 0 \end{cases}\)
ponieważ w pierwszej wiele osób ''widzi'' przecięcie sfery i płaszczyzny, a w drugiej trochę mniej dostrzega przecięcie walca eliptycznego z płaszczyzną.

Reszty wpisu nie komentuję, gdyż nie dotyczy meritum tego tematu.

[janusz55]

Równanie \( 2x^2 + 2y^2 +2xy = 1 \) jest równaniem elipsy.

[Jerry]

Równanie \( 2x^2 + 2y^2 +2xy = 1 \) jest równaniem elipsy.

No i dobrze, przecież rzutem prostokątnym danego okręgu na płaszczyznę xOy jest elipsa
Twoje posty niewiele wnoszą do wątku i na pewno nie są kontrargumentami do postów pozostałych userów

Znowu zaczynasz mieszać

[janusz55]

Bez takich uwag i wychowywania. To że ty nie pojmujesz userze nie wynika z tego że inni nie pojmują.

[Jerry]

Bez takich uwag i wychowywania. To że ty nie pojmujesz userze nie wynika z tego że inni nie pojmują.

Ostrzegam!

[kerajs]

Równanie \( 2x^2 + 2y^2 +2xy = 1 \) jest równaniem elipsy.

Pisząc powyższe pokazałeś, że należysz do tych osób które w układzie
\( \begin{cases} 2x^2 +2y^2 + 2xy = 1 \\ x+ y + z = 0 \end{cases}\)
nie widzą przecięcia walca eliptycznego z płaszczyzną i dlatego
\( \begin{cases} x^2 +y^2 + z^2 = 1 \\ x+ y + z = 0 \end{cases}\)
jest formą prostszą.