Obliczyć residua

[peresbmw]

Obliczyć następujące residua \(res_{z=3} \frac{z^2 e^z}{z^2 - 6z+9} \)

[grdv10]

Niech \(f\) będzie naszą funkcją. Zauważamy, że \(3\) jest biegunem rzędu 2. Wtedy \(f(z)(z-3)^2=z^2e^z\). Więc po prostu to residuum ma wartość pochodnej w punkcie 3. \(f'(z)=(z^2+2z)e^z\), więc \(\text{res}_3f(z)=15e^3.\)

[peresbmw]

Dzięki ale trochę nie rozumiem jak to rozwiązywac, mianownik nie bierze się pod uwagę? Możesz mi to bardziej rozpisać? Bo mam kolejny przykład \(res_{z=0} \frac{ \cos z}{z^2 +2z} \)i nie wiem nadal jak to rozwiązać

[janusz55]

\( res_{z=0} \frac{\cos(z)}{z^2 + 2z} = \frac{\cos(z)}{z(z+2)}\)

\( z = 0 \) jest biegunem jednokrotnym funkcji \( f(z) = \frac{\cos(z)}{z(z +2)} \)

Rozwijamy licznik funkcji \( f(z) = \frac{\cos(z)}{z^2 +2z} \) w szereg Taylora-Maclaurina (do dwóch składników)

\( \cos(z) = 1 - \frac{z^2}{2} +... \)

\( f(z) = \frac{1 - \frac{z^2}{2}+...}{z^2 + 2z} = \frac{1 - \frac{z^2}{2}+...}{z(z+2)} = \frac{1}{z} \cdot \left(\frac{1}{z+2}- \frac{\frac{z^2}{2}}{z +2}\right)\)

\( res_{z=0} [f(z)] = res_{z=0} \frac{\cos(z)}{z^2 + 2z} = res_{z=0} \left[ \frac{1}{z} \cdot \left(\frac{1}{z+2}- \frac{\frac{z^2}{2}+...}{z +2}\right)\right] = \frac{1}{2}. \)