Ciągi, notacja sigmowa

[krniasty]

Dla każdego z podanych ciagów podaj 5 początkowych wyrazów oraz jeśli potrafisz wyraz osiem-
dziesiąty.
\(\begin{cases}a_1 = 5\\ a_{n+1} = a_n + 7 \end{cases}\)
\(\begin{cases}b_1 = 2\\ b_{n+1} = 3b_n -2 \end{cases}\)
\(\begin{cases}c_1 = 2\\ c_{n+1} = \frac{2}{c_n} \end{cases}\)
\(\begin{cases}d_1 = 5\\ d_{n+1} = d_n + (-1)^n \end{cases}\)
\(\begin{cases}e_1 = 8\\ e_{n+1} = e_n *2^n \end{cases}\)
\(\begin{cases}f_1 = 0\\ f_2 = 1\\f_{n+2}=f_n + f_{n+1} \end{cases}\)

2. Oblicz sumy:
\(\sum_{i=3}^{n+3} \sum_{j=1}^{i+1} 1\)

[eresh]

Dla każdego z podanych ciagów podaj 5 początkowych wyrazów oraz jeśli potrafisz wyraz osiem-
dziesiąty.
\(\begin{cases}a_1 = 5\\ a_{n+1} = a_n + 7 \end{cases}\)

\(a_1=5\\
a_2=5+7=12\\
a_3=12+7=19\\
a_4=19+7=26\\
a_5=26+7=33\)

\(a_{n+1}-a_n=7\)
ciąg jest arytmetyczny, więc
\(a_{80}=a_1+79r\\
a_{80}=5+79\cdot 7\\
a_{80}=558\)

[eresh]

Dla każdego z podanych ciagów podaj 5 początkowych wyrazów oraz jeśli potrafisz wyraz osiem-
dziesiąty.
\(\begin{cases}b_1 = 2\\ b_{n+1} = 3b_n -2 \end{cases}\)

\(b_1=2\\
b_2=3\cdot 2-2=4\\
b_3=3\cdot 4-2=10\\
b_4=3\cdot 10-2=28\\
b_5=3\cdot 28-2=82\)

[eresh]

Dla każdego z podanych ciagów podaj 5 początkowych wyrazów oraz jeśli potrafisz wyraz osiem-
dziesiąty.
\(\begin{cases}c_1 = 2\\ c_{n+1} = \frac{2}{c_n} \end{cases}\)

\(c_1=2\\
c_2=\frac{2}{2}=1\\
c_3=\frac{2}{1}=2\\
c_4=\frac{2}{2}=1\\
c_5=\frac{2}{1}=2\\
...\\
c_{80}=1\)

[eresh]

Dla każdego z podanych ciagów podaj 5 początkowych wyrazów oraz jeśli potrafisz wyraz osiem-
dziesiąty.
\(\begin{cases}d_1 = 5\\ d_{n+1} = d_n + (-1)^n \end{cases}\)

\(d_1=5\\
d_2=5+(-1)^1=5-1=4\\
d_3=4+(-1)^2=4+1=5\\
d_4=5+(-1)^3=4\\
d_5=4+(-1)^4=5\\
...\\
d_{80}=4\)

[eresh]

Dla każdego z podanych ciagów podaj 5 początkowych wyrazów oraz jeśli potrafisz wyraz osiem-
dziesiąty.
\(\begin{cases}e_1 = 8\\ e_{n+1} = e_n *2^n \end{cases}\)

\(e_1=8=2^3\\
e_2=8\cdot 2=16=2^4\\
e_3=16\cdot 2^2=2^6\\
e_4=2^6\cdot 2^3=2^9\\
e_5=2^9\cdot 2^4=2^{13}\)

[eresh]

Dla każdego z podanych ciagów podaj 5 początkowych wyrazów oraz jeśli potrafisz wyraz osiem-
dziesiąty.

\(\begin{cases}f_1 = 0\\ f_2 = 1\\f_{n+2}=f_n + f_{n+1} \end{cases}\)

\(f_1=0\\
f_2=1\\
f_3=0+1=1\\
f_4=1+1=2\\
f_5=2+1=3\)