Pole czworokąta

[aramila]

Przez punkt P znajdujący się w odległości \(5\sqrt{17}\) od środka \(O (7,0)\) okręgu, poprowadzono dwie proste l i k styczne do danego okręgu odpowiednio w punktach M i N. Wiedząc, że prosta l ma równanie \(4x-3y-3=0\), oblicz pole czworokąta \(MONP\)

[eresh]

Przez punkt P znajdujący się w odległości \(5\sqrt{17}\) od środka \(O (7,0)\) okręgu, poprowadzono dwie proste l i k styczne do danego okręgu odpowiednio w punktach M i N. Wiedząc, że prosta l ma równanie \(4x-3y-3=0\), oblicz pole czworokąta \(MONP\)

\(|PO|=5\sqrt{17}
\)
trójkąt \(MOP\) jest przystający do trójkąta \(POM\) i jest prostokątny

\(P_{MONP}=2P_{POM}\\
|OM|=r\)
r jest odległością środka okręgu od prostej l
\(r=\frac{|7\cdot 4+0\cdot (-3)-3|}{\sqrt{4^2+3^2}}\\
r=5\)

\(|PM|^2+|MO|^2=|PO|^2\\
|PM|^2+25=425\\
|PM|=20\\
P_{PMO}=\frac{1}{2}|PM|\cdot |OM|\\
P=50\\
P_{PMON}=2\cdot 50\)