Miara na prostej rzeczywistej

[Fretkonur]

Czy dla każdego \( \varepsilon >0\) istnieje funkcja ciągła \(g: \rr \to \rr \) taka, że \(λ({x \in \rr : 1_Q(x) \neq g(x)}) \le \varepsilon \) ? Gdzie \(1_Q\) jest funkcją charakterystyczną zbioru liczb wymiernych, a λ jest miarą Lebesgue'a.

Pomyślałem, żeby skorzystać z Twierdzenia Łuzina, bo funkcja charakterystyczna zbioru liczb wymiernych jest funkcją mierzalną względem rodziny zbiorów Lebesgue'a mierzalnych, bo zbiór liczb wymiernych jest mierzalny.
Z Twierdzenia Łuzina musiałby zachodzić warunek równoważny, czyli
\( \forall \varepsilon >0\) \( \exists \) F domknięty taki, że
\(λ( \rr \bez F)< \varepsilon \) oraz \(1_Q\) jest ciągła na F.
Czy sensowne jest pokazanie w takim razie, że \( \rr \bez F = \) \({x \in \rr : 1_Q(x) \neq g(x)}\) zachodzi dla jakiejś funkcji \(g\) ? I jak coś takiego zrobić?
Funkcja charakterystyczna na pewno przyjmuje tylko dwie wartości 0 lub 1 w zależności od tego czy \(x \in Q\) czy \(x \notin Q\). Czy za \(F\) można wziąć \( \rr \bez G\) gdzie \(G= \bigcup_{n=1} ^ \infty \) \((q_n- \frac{ \varepsilon }{2^{n+1}}, q_n + \frac{ \varepsilon }{2^{n+1}} )\) gdzie \(q_n\) jest ciągiem liczb wymiernych, a wtedy \(λ( \rr \bez F) = λ(G)\) \( \le \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{ \varepsilon }{2^n}= \varepsilon \) ? Ale wtedy jak uzasadnić, że istnieje g ciągła?
Z góry dziękuję za pomoc!