Przestrzenie metryczne ośrodkowe

[Fretkonur]

Niech (T,d) będzie przestrzenią metryczną ośrodkową. Uzasadnij, że dla każdego podzbioru \(S \subset T\) przestrzeń metryczna (S,d) jest przestrzenią ośrodkową.

Wiem, że przestrzeń metryczna jest ośrodkowa gdy spełnia II aksjomat przeliczalności czyli ma przeliczalną bazę.
Czy to ma coś związanego z tym, że: Jeżeli przyjmę za \( \beta \) bazę (T,d) to \( \forall \) \(U\) kuli otwartej i \(x \in U \) \( \exists \) \(V\) kula otwarta \(V \in \beta (T,d)\) takie, że \(x \in V \subset U\). Wtedy w (S,d) \( \exists B \subset V\), takie, że \(x \in B \subset V \subset U\)
Skoro \(x \in V\) to istnieje jego otoczenie o bardzo małym promieniu np. wymiernym takie, że \((x-q,x+q) \subset V\) i \((x-q,x+q)=B\). Więc (S,d) też ma przeliczalną bazę.
Czy można mniej więcej taki tok myślenia zmienić aby było dobrze? A jak nie to jak inaczej można podejść do tego zadania?
Z góry dzięki za pomoc.

[grdv10]

Przestrzeń jest ośrodkowa, jeśli zawiera przeliczalny zbiór gęsty. Najlepiej posługiwać się tym warunkiem, odchodząc zupełnie od metryki. Bo to jest własność topologiczna, a nie metryczna.

Jeśli \(A\subset T\) jest gęstym zbiorem przeliczalnym, to zbiór \(S\cap A\) jest podzbiorem gęstym i przeliczalnym podprzestrzeni \(S\). Istotnie, skoro \(\text{cl}A=T\) (gęstość), to \(\text{cl}_SA=S\cap\text{cl}A=S\cap T=S.\)

Twoja notacja przedziałowa odzwierciedla intuicje z prostej. Raczej stosujemy kule. Ale - jak powiedziałem - Twoje rozumowanie to przewaga formy nad treścią.

[Fretkonur]

Faktycznie, dziękuję bardzo za pomoc.
Jeśli chodzi o zbiory gęste, zastanawia mnie jeszcze jedna rzecz, a mianowicie mając przestrzeń ([0,1],|·|) jaki zbiór gęsty i przeliczalny należy wskazać, aby później udowodnić, że to przestrzeń ośrodkowa? Myślałem o liczbach wymiernych z przedziału [0,1], ale nie wiem czy to dobry trop. Będę wdzięczny za wszelakie podpowiedzi.