Rozwiąż równania różniczkowe , a następnie wyznacz rozwiązanie

[EatonFS]

Rozwiąż równania różniczkowe , a następnie wyznacz rozwiązanie szczególne przechodzące przez dany punkt \(p=(x_0 , y_0 )\):
a) \((1-x)dy+y dx=0, p=(0,1)\)
b) \(y`=y cos x, p=( \frac{ \pi }{2} , 1)\)

[panb]

Rozwiąż równania różniczkowe , a następnie wyznacz rozwiązanie szczególne przechodzące przez dany punkt \(p=(x_0 , y_0 )\):
a) \((1-x)dy+y dx=0, p=(0,1)\)
b) \(y`=y cos x, p=( \frac{ \pi }{2} , 1)\)

a) \(\displaystyle (1-x)\, {dy}=-y \, {dx} \So \frac{dy}{y} =- \frac{dx}{1-x} \So \int \frac{dy}{y} =-\int \frac{dx}{1-x} \So \ln y=\ln(1-x) \So y=C(1-x)\)
\(p=(0,1) \So 1=C(1-0) \So C=1\)

Odpowiedź: \(y=1-x\)

[panb]

Rozwiąż równania różniczkowe , a następnie wyznacz rozwiązanie szczególne przechodzące przez dany punkt \(p=(x_0 , y_0 )\):
b) \(y`=y cos x, p=( \frac{ \pi }{2} , 1)\)

\(\displaystyle { \frac{dy}{dx}=y\cos x \So \frac{dy}{y}=\cos x\,{dx} \So \int\frac{dy}{y}=\int\cos x\,{dx} \So \So \ln y=\sin x +c \So y=Ce^{\sin x} \\
p=\left( \frac{\pi}{2},1\right) \So 1=Ce^{\sin \frac{\pi}{2}} } \So C= \frac{1}{e} \)

Odpowiedź: \(y= \frac{e^{\sin x}}{e}=e^{\sin x-1} \)