Zadanie równania różniczkowe

[lukgat]

ktoś wie jak to rozwiązać?
\(y'' (y-1) = 2 (y')^2\)

[grdv10]

Wstaw nową funkcję niewiadomą \(y'=p(y)\). Mamy \(y''=p'(y)y'\) i \(p'(y)y'(y-1)=2p^2\), a to jest równanie o zmiennych rozdzielonych \(p,y\).

[panb]

ktoś wie jak to rozwiązać?
\(y'' (y-1) = 2 (y')^2\)

\(\displaystyle {u(y)=y' \So u'y'=y'' \iff u'u=y''\\
y'' (y-1) = 2 (y')^2 \iff u'u(y-1)=2u^2 \iff u(u'(y-1)-2u)=0\\
u=0 \vee u'(y-1)=2u \So u=0 \vee \frac{u'}{u} = \frac{2}{y-1}\\
u=0 \vee \ln u=2\ln(y-1)+\ln C \So u=0 \vee u=C(y-1)^2\\
y'=0 \vee y'=C(y-1)^2 \So y=c \vee \frac{y'}{(y-1)^2} =C \\
y=c \vee \int \frac{dy}{(y-1)^2}=C\int {dx}\\
y=c \vee \frac{1}{1-y}= Cx+D \So y=c \vee y= 1-\frac{1}{Cx+D} = \frac{1-Cx-D}{Cx-D} }\)

Odpowiedź: \(y=c \text{ lub } y=1- \frac{1}{Cx+D}\)