Objętość

[peresbmw]

Który z ostrosłupów prawidłowych o podstawie kwadratowej i sumie
długości wszystkich krawędzi równej a ma największą objętość?

[panb]

Który z ostrosłupów prawidłowych o podstawie kwadratowej i sumie
długości wszystkich krawędzi równej a ma największą objętość?

rys.png (14.34 KiB) Przejrzano 1253 razy

\(4x+4y=a \So y= \frac{a}{4}-x\\
H^2=y^2- \frac{x^2}{2}= \left(\frac{a}{4}-x \right)^2- \frac{x^2}{2}= \frac{x^2}{2}- \frac{ax}{2} + \frac{a^2}{16} \\
V(x)= \frac{1}{3}x^2H.\\
\text{Niech } f(x)=x^4H^2=x^4 \left( \frac{x^2}{2}- \frac{ax}{2} + \frac{a^2}{16} \right), \,\, 0\le x \le \frac{1}{4}a \)
Funkcje \(V(x)\) i \(f(x)\) osiągają ekstrema w tych samych punktach.
\(f'(x)= \frac{1}{4}x^3(12x^2-10ax+a^2)=0 \iff x=0 \vee x= \frac{1}{12}a(5-\sqrt{13}) \vee x= \frac{1}{12}a(5+\sqrt{13}) \)
Zmiana znaku pochodnej z (+) na (-) ma miejsce dla \(x= \frac{1}{12}a(5-\sqrt{13})\)
\(\frac{1}{12}a(5-\sqrt{13})<\frac{1}{12}a(5-3)= \frac{1}{6}a< \frac{1}{4}a \)

Wniosek: objętość będzie największa dla \(x=\frac{1}{12}a(5-\sqrt{13})\). Wtedy \(y=\frac{1}{12}a(\sqrt{13}-2)\)

Odpowiedź: Największą objętość będzie miał ostrosłup, którego podstawa jest kwadratem o boku \(\frac{1}{12}a(5-\sqrt{13})\)

[potek21]

Jak obliczyć te miejsca zerowe pochodnej??

[eresh]

Jak obliczyć te miejsca zerowe pochodnej??

\(12x^2-10ax+a^2=0\) - równanie kwadratowe, liczysz deltę i pierwiastki