Jak pokazać, że taki zbiór {\((a,b): a,b \in \ww , a<b\)} tworzy bazę topologii standardowej na prostej?
Pomyślałem o tym, aby wziąć \(x \in \rr \) oraz \(U\) otwarty taki, że \(x \in U\) i pokazać, że istnieje \(W\) należący do zbioru który tworzy bazę, taki, że \(x \in W \subset U\).
Tylko jak to pokazać?
Czy wystarczy tylko wziąć takie \(W=(x- \varepsilon ,x+ \varepsilon )\), gdzie \( \varepsilon \) jest dowolnie mały? Tylko czy to wystarczy, jak coś takiego rozpisać?
Proszę o pomoc i z góry dziękuję.
Baza w topologii
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
grdv10
- Fachowiec
- Posty: 1039
- Rejestracja: 04 sty 2020, 12:47
- Podziękowania: 9 razy
- Otrzymane podziękowania: 388 razy
- Płeć:
Re: Baza w topologii
Oczywistym jest, że każdy zbiór otwarty na prostej jest sumą przedziałów otwartych. A każdy przedział otwarty wysumujesz przedziałami o końcach wymiernych. Tak to pokaż.
Niech \(U\subset\Bbb R\) będzie zbiorem otwartym oraz \(x\in U\). Wtedy istnieje przedział otwarty \((a,b)\subset U\) taki, że \(x\in (a,b).\) Skoro zbiór liczb wymiernych jest gęsty, to istnieje przedział \((p_x,q_x)\subset(a,b)\) o końcach wymiernych. Więc \Koniec i bomba, kto czytał, ten trąba.
Niech \(U\subset\Bbb R\) będzie zbiorem otwartym oraz \(x\in U\). Wtedy istnieje przedział otwarty \((a,b)\subset U\) taki, że \(x\in (a,b).\) Skoro zbiór liczb wymiernych jest gęsty, to istnieje przedział \((p_x,q_x)\subset(a,b)\) o końcach wymiernych. Więc \Koniec i bomba, kto czytał, ten trąba.