zbiór gęsty i przeliczalny

[bbm321]

Podaj przykład zbioru gęstego i przeliczalnego w \(( \rr ^2, \parallel \cdot \parallel _2)\) i uzasadnij ten fakt.

[grdv10]

Jest nim zbiór wszystkich punktów płaszczyzny o obu współrzędnych wymiernych. Istotnie, niech \(x,y\in\Bbb R\). Niech \(x=\lim x_n\) oraz \(y=\lim y_n\) , gdzie \(x_n,y_n\in\Bbb Q\). Wtedy \((x,y)=\lim (x_n,y_n)\) co dowodzi gęstości naszego zbioru.